Теңбүйірлі трапецияның диагональдарының арасындағы бұрыш 90^\circ, биіктігі 8 см. Трапецияның ауданын табыңыз.
Теңбүйірлі трапецияның диагональдарының арасындағы бұрыш 90^\circ, биіктігі 8 см. Трапецияның ауданын табыңыз.
Мысалдың шартын түсінейік. Теңбүйірлі трапецияның биіктігі 8 см және оның диагональдары бір-біріне (90^\circ) бұрыш жасайды. Ең бастысы – координаталық жазықтыққа симметриялы орналастырып, диагональдардың қиылысу бұрышы арқылы базалардың қосындысын табу.
Мұндай трапецияны былай орналастыруға болады:
• Төменгі база – көлденеңінен (y=0) сызығында, ұзындығы (a) болсын, оның ортасы (0).
• Жоғарғы база – (y=h=8) сызығында, ұзындығы (b) болсын, оның ортасы да (0).
Бұл жағдайда табамыз:
– Бірінші диагональ (d_1): нүктеден ((-\frac{a}{2},;0)) бастап, ((\frac{b}{2},;8)) дейін.
– Екінші диагональ (d_2): нүктеден ((\frac{a}{2},;0)) бастап, ((-\frac{b}{2},;8)) дейін.
Енді диагональдардың қисықтықтарын есептейміз:
– (d_1) қисықтығы: (m_1=\dfrac{8-0}{\frac{b}{2}-\left(-\frac{a}{2}\right)} = \dfrac{8}{\frac{a+b}{2}} = \dfrac{16}{a+b}).
– (d_2) қисықтығы: (m_2=\dfrac{8-0}{-\frac{b}{2}-\frac{a}{2}} = \dfrac{8}{-\frac{a+b}{2}} = -\dfrac{16}{a+b}).
Диагональдары перпендикуляр болғандығын білеміз, яғни олардың қисықтықтарының көбейтіндісі (-1):
[
m_1 \cdot m_2 = \left(\dfrac{16}{a+b}\right)\left(-\dfrac{16}{a+b}\right) = -\dfrac{256}{(a+b)^2} = -1.
]
Осыдан:
[
\dfrac{256}{(a+b)^2} = 1 \quad\Longrightarrow\quad (a+b)^2 = 256 \quad\Longrightarrow\quad a+b = 16.
]
Трапецияның ауданы формуласы:
[
\text{Area} = \dfrac{(a+b)}{2}\times h.
]
Осыған мәндерді қойсақ:
[
\text{Area} = \dfrac{16}{2} \times 8 = 8 \times 8 = 64\text{ см}^2.
]
Яғни, трапецияның ауданы – 64 см².
Задача сводится к нахождению площади равнобокой трапеции, если известно, что угол между её диагоналями равен 90° и высота равна 8 см. Обозначим длины оснований трапеции через a и b. Тогда площадь можно найти по формуле:
S = ((a + b) / 2) · h
Найти сумму оснований (a + b) можно, используя условие перпендикулярности диагоналей.
Представим равнобокую трапецию симметрично относительно оси. Пусть нижнее основание имеет длину a, а верхнее — b. Расположим их так, чтобы центр трапеции находился в начале координат. Можно ввести координаты таким образом:
A(–a/2, 0), B(a/2, 0), D(–b/2, h) и C(b/2, h), где h = 8 см.
Диагонали будут:
AC: от точки A(–a/2, 0) до C(b/2, h) → вектор AC = (b/2 – (–a/2), h – 0) = ((a + b)/2, 8)
BD: от точки B(a/2, 0) до D(–b/2, h) → вектор BD = (–b/2 – a/2, h – 0) = (–(a + b)/2, 8)
Так как диагонали перпендикулярны, их скалярное произведение равно нулю:
AC · BD = ((a+b)/2)·(–(a+b)/2) + 8·8 = –((a+b)²)/4 + 64 = 0
Отсюда:
((a+b)²)/4 = 64 → (a+b)² = 256 → a + b = 16 (так как a+b > 0)
Теперь подставляем найденную сумму оснований в формулу для площади трапеции:
S = ((16)/2) · 8 = 8 · 8 = 64 см²
Ответ: 64 см².