Теңбүйірлі трапецияның диагональдары өзара перпендикуляр. Орта сызығы 10 см болса, ауданын табыңыз.
Теңбүйірлі трапецияның диагональдары өзара перпендикуляр. Орта сызығы 10 см болса, ауданын табыңыз.
Переформулируем задачу: дана равнобедренная трапеция, в которой диагонали взаимно перпендикулярны, а средняя линия (среднее арифметическое оснований) равна 10 см. Нужно найти площадь трапеции.
Представим равнобедренную трапецию следующим образом. Пусть основания равны a и b, тогда средняя линия m = (a + b)/2, а по условию m = 10 см, то есть a + b = 20 см.
Чтобы использовать условие взаимной перпендикулярности диагоналей, удобно ввести систему координат. Расположим трапецию так, чтобы ось Ox была горизонтальной, а ось Oy – вертикальной. Пусть нижнее основание проходит через точки A(-x, 0) и B(x, 0), тогда a = 2x. Верхнее основание расположим параллельно нижнему и симметрично относительно оси Oy, выбрав точки D(-y, h) и C(y, h), где b = 2y; очевидно, x > y. При этом высота трапеции равна h.
Диагонали – AC (из точки A в точку C) и BD (из точки B в точку D):
AC = (y - (-x), h - 0) = (x + y, h)
BD = (-y - x, h - 0) = (-(x + y), h).
Для того чтобы диагонали были перпендикулярны, их скалярное произведение должно равняться нулю:
AC • BD = (x + y)·[–(x + y)] + h·h = –(x + y)² + h² = 0.
Откуда
h² = (x + y)²,
h = x + y.
Заметим, что средняя линия трапеции равна
m = (a + b)/2 = (2x + 2y)/2 = x + y.
Таким образом, высота h равна средней линии m, то есть h = 10 см.
Площадь трапеции находим по формуле
S = (a + b)/2 · h = m · h.
Подставляем m = 10 см и h = 10 см:
S = 10 см · 10 см = 100 см².
Ответ: площадь трапеции равна 100 см².
Мысал бойынша, теңбүйірлі трапецияның диагональдары бір-біріне перпендикуляр және оның орта сызығының ұзындығы 10 см деп берілген. Енді оның ауданын табайық.
Алдымен трапецияның екі негізінің қосындысы орта сызыққа сәйкес келеді: орта сызық – негіздердің арифметикалық ортасы, яғни (a + b)/2 = 10, сондықтан a + b = 20.
Енді трапецияны координаталық жазықтыққа орналастырайық. Теңбүйірлі трапецияның симметриялы орналасуын ескере отырып, төменгі негізді горизонталь жазықтыққа орналастыруға болады:
• A = (–a/2, 0)
• B = (a/2, 0)
Жоғарғы негізді де симметрия түрде орналастырамыз:
• D = (–b/2, h)
• C = (b/2, h)
Мұндағы h – трапецияның биіктігі.
Диагональдарды алайық:
• AC: векторы = C – A = (b/2 – (–a/2), h – 0) = ((a + b)/2, h)
• BD: векторы = D – B = (–b/2 – a/2, h – 0) = (–(a + b)/2, h)
Дегенмен, (a + b)/2 = 10, яғни:
• AC = (10, h)
• BD = (–10, h)
Диагональдардың перпендикуляр болғаны үшін олардың скалярлық көбейтіндісі нөлге тең болуы тиіс:
(10, h) · (–10, h) = 10×(–10) + h×h = –100 + h² = 0
Осыдан h² = 100, сондықтан биіктік h = 10 см.
Трапецияның ауданы мына формула бойынша есептеледі:
Аудан = орта сызық × биіктік = 10 см × 10 см = 100 см²
Осылайша, трапецияның ауданы 100 см² болады.