Теңбүйірлі трапецияның диагоналі бұрышты 90^\circ және 15^\circ-қа бөледі. Трапецияның табандарының қатынасын табыңыз.
Теңбүйірлі трапецияның диагоналі бұрышты 90^\circ және 15^\circ-қа бөледі. Трапецияның табандарының қатынасын табыңыз.
Задача говорит о равнобедренной трапеции, у которой одна из диагоналей, выходящая из вершины у основания, делит угол в этой вершине на угол 90° и угол 15°. Требуется найти отношение оснований трапеции (то есть отношение длин её оснований).
Для наглядности можно принять следующее построение. Пусть вершина A – та, из которой выходит диагональ AC, делящая угол ∠DAB на 15° (между стороной AB и диагональю) и 90° (между стороной AD и диагональю). Примем систему координат так, чтобы:
• точка A имела координаты (0, 0);
• луч AB лежал вдоль положительного направления оси Ox;
• направление диагонали AC образовало с Ox угол 15°.
Таким образом, вектор AC имеет вид (cos15, sin15), и можно выбрать его длину равной, скажем, c (то есть точка C имеет координаты (c·cos15, c·sin15)).
При условии, что диагональ AC перпендикулярна стороне AD (так как угол между ними равен 90°), направление вектора AD перпендикулярно (cos15, sin15) – это, например, вектор (–sin15, cos15). Поэтому точка D (на стороне AD) имеет вид
D = A + t·(–sin15, cos15) = (–t·sin15, t·cos15),
где t – положительное число.
Поскольку основания трапеции параллельны, то верхнее основание (прямолинейное продолжение через точки D и C) должно быть горизонтальным, то есть точки D и C имеют одинаковую ординату. Приравнивая y-координаты D и C, получим:
t·cos15 = c·sin15 ⟹ t = c·tan15.
Таким образом, координаты D становятся
D = ( – c·tan15·sin15, c·tan15·cos15 ).
Заметим, что y-координата D равна c·tan15·cos15 = c·sin15, и действительно точка C имеет y = c·sin15. Поэтому отрезок DC – верхнее основание – лежит на прямой y = c·sin15, и его длина равна разности x-координат C и D:
DC = c·cos15 – (– c·tan15·sin15) = c·cos15 + c·(sin15²/cos15) = c( (cos²15 + sin²15)/cos15 ) = c/cos15.
Нижнее основание – сторона AB – лежит на оси Ox, т.е. имеет вид от A = (0, 0) до точки B = (b, 0), где b – длина этого основания. Осталось найти b так, чтобы равнобедренность трапеции выполнялась. Равнобедренная трапеция имеет равные боковые стороны, то есть AD = BC. Мы уже нашли AD = t = c·tan15. Для нахождения BC рассмотрим треугольник с точками B = (b, 0) и C = (c·cos15, c·sin15). Его длина равна
BC = √[(c·cos15 – b)² + (c·sin15)²].
При равенстве AD и BC получаем уравнение:
√[(c·cos15 – b)² + c²·sin²15] = c·tan15.
Возводя обе части в квадрат, имеем:
(c·cos15 – b)² + c²·sin²15 = c²·tan²15 = c²·(sin²15/cos²15).
Отсюда
(c·cos15 – b)² = c²·(sin²15/cos²15 – sin²15) = c²·sin²15·[(1/cos²15) – 1].
Заметим, что
(1/cos²15 – 1) = (1 – cos²15)/cos²15 = sin²15/cos²15.
Таким образом,
(c·cos15 – b)² = c²·sin²15·(sin²15/cos²15) = c²·(sin⁴15/cos²15).
Извлекая корень (и выбирая знак так, чтобы b получилось меньше c·cos15, что соответствует тому, что одно основание короче другого), получаем
c·cos15 – b = c·(sin²15/cos15),
откуда
b = c·cos15 – c·(sin²15/cos15) = c·( (cos²15 – sin²15)/cos15 ).
Но выражение cos²15 – sin²15 равно cos30. Таким образом,
b = c·(cos30/cos15).
Найдем отношение оснований. Верхнее основание DC имеет длину c/cos15, а нижнее основание AB – длину b = c·(cos30/cos15). Поэтому отношение (относительно выбранного расположения) будет:
AB/DC = [c·(cos30/cos15)] / [c/cos15] = cos30,
то есть отношение меньшего основания к большему равно cos30 (если принять, что AB – меньшее основание). При численном значении cos30 = √3/2 ≈ 0,866.
Таким образом, если обозначить через a – длину меньшего основания, а через b – длину большего основания, то
a/b = cos30 = √3/2 или b:a = 1 : (√3/2) = 2/√3.
Выбор того, какое основание больше, зависит от чертежа. Как правило, в равнобедренной трапеции одно основание действительно может быть короче другого. Ответ можно записать так: отношение оснований равно √3:2 (при условии, что меньшее основание соответствует √3, а большее – 2) или, что то же самое, a/b = (√3)/2.
Ответ: отношение оснований трапеции равно √3/2.
Мәселе мынадай: теңбүйірлі трапецияда бір диагональдың бір төбеде түзу бұрышты 90° және 15°-қа бөлетін жағдайында трапецияның қысқа және ұзын табандарының ұзындықтарының қатынасын анықтау.
Төмендегі ойлау үдерісін қарастырайық:
• Алдымен трапецияның төбелерін A, B, C, D деп белгілеңіз, мұнда AB мен CD параллель (табандар), ал AD = BC теңбүйірлігі беріледі. Біз диагональды A төбесінен шығатын, яғни AC диагоналын аламыз. Берілгенге сәйкес, A төбесінде AC шеті ∠DAB бұрышын 90° және 15°-қа бөледі. Бұл ретте бұрынғы қиялда екі нысан мүмкін:
– А нүктесінде AB пен AC арасындағы бұрыш 15° болса, ал AC мен AD арасындағы бұрыш 90° болады,
– немесе керісінше.
Мызды жеңілдету мақсатында, біз былай деп шарттаймыз: A нүктесінде AB-мен AC арасындағы бұрыш 15°; сонда AC-мен AD арасындағы бұрыш 90° болады.
• Енді абсцисса-бастапқы жүйеде A нүктесін (0, 0) деп алып, AB-ны оң жаққа бағытталған шеңбер деп белгілейік. Біз AB-ны қысқа табан, ал CD-ны ұзын табан деп таңдаймыз – себебі есепте шыққан қатынас соңында қысқа табан мен ұзын табан қатынасы √3:2 болады.
• AC шетін A нүктесінен шығарып, AB-мен 15° бұрыш жасайтын сызық ретінде аламыз, яғни AC-ның бағыты 15°-қа бұрыштаседі. Егер AC ұзыны d деп алсақ, онда C нүктесінің координатасы
C = (d cos15, d sin15)
болады.
• Енді AD шетін A-дан шығатын, бірақ AC-мен ∠(AD, AC) = 90° жасайтын бағытта белгіленеді. Демек, AD бағыты 15° + 90° = 105° болады. Егер AD ұзындығын L деп алсақ, D нүктесі
D = (L cos105, L sin105)
болады.
• Трапецияда табандар параллель болғандықтан, D және C нүктелерінің y координаталары бірдей болу керек. Сондықтан
L sin105 = d sin15.
Еске сала кетейік, (\sin105 = \sin75). Яғни,
L = (\frac{d \sin15}{\sin75}).
Сонымен, D = (\Bigl(\frac{d \sin15}{\sin75}\cos105,, d \sin15\Bigr)).
• Енді D нүктесінде пайда болатын x координатасын қарастырайық. Белгісіздіктерді жеңілдету үшін тригонометриялық теңдіктерді пайдалану ыңғайлы:
cos105 = –cos75, сонымен
x_D = –(\frac{d \sin15}{\sin75}\cos75).
Біз сондай-ақ cos75 мен sin15 арасындағы байланысты байқаймыз: (\cos75 = \sin15) (өйткені 75° = 90° – 15°). Демек,
x_D = –(\frac{d \sin15}{\sin75}\sin15 = –\frac{d \sin^2 15}{\sin75}).
• Енді CD табанын табамыз. CD ‒ D және C нүктелерінің арасындағы көлденең қашықтық. C нүктесінің координатасы (d cos15, d sin15) болғандықтан,
CD = |x_C – x_D| = (|d\cos15 – (–\frac{d \sin^2 15}{\sin75})| = d\cos15 + \frac{d \sin^2 15}{\sin75}).
• Қалған қадам ретінде трапеция теңбүйірлі болу шарты – AD = BC – пайдаланылады. Мұндағы BC – B мен C арасындағы қашықтық, ал B нүктесін (b, 0) деп алайық, мұндағы b ‒ AB табанының ұзындығы.
Үшбұрыш B, C, A қарастырсақ, және қайтадан AD мен BC тең болуын ескере отырып, алгебралық есептеулерді жүргізгеннен кейін (деннеталдаудың нәтижесінде) қысқа табан мен ұзын табан қатынасы келесі түрде шығады:
(\frac{AB}{CD} = \frac{b}{CD} = \frac{\sqrt3}{2}).
Нақты есептеу барысында ең жеңіл нұсқа – тиісті координаталық жүйеде орналастырып, қажетті тригонометриялық қатынастарды қолдану. Жоғарыдағы шартты конфигурациядан шығып, қысқа табан мен ұзын табан қатынасы (\sqrt{3} : 2) болып табылады.
Демек, жауап:
қысқа табан мен ұзын табан қатынасы = (\frac{\sqrt{3}}{2}),
немесе кері ретпен жазылған жағдайда ұзын/қысқа = (\frac{2}{\sqrt3}).
Егер тапсырмада қандай табанды «қысқа» немесе «ұзын» деп алу туралы нақты айтылмаса, әдетте қысқа табан мен ұзын табан қатынасы ретінде қабылдайды.
Назар аударыңыз, есептің геометриялық сызбасы мен тригонометриялық қатынастарының дұрыс қолданылуы нәтижесіз осындай қатынасты береді.