Теңбүйірлі тік бұрышты АВС үшбұрышы АС катеті бойынан К нүктесі алынған. 5АК = ВК болса. К нүктесі АС катетін қалай бөледі?
Теңбүйірлі тік бұрышты АВС үшбұрышы АС катеті бойынан К нүктесі алынған. 5АК = ВК болса. К нүктесі АС катетін қалай бөледі?
Бұл тапсырмада теңбүйірлі тік бұрышты үшбұрыш берілген. Үшбұрыштың екі катеті тең, сондықтан көбінесе оң жақтағы координаттар жүйесінде мынадай нүктелерді орналастыру ыңғайлы:
• А = (0, 0)
• B = (b, 0)
• C = (0, b)
АС жағы – бұрыштың бір катеті, яғни А–дан C–ге дейінгі тік сызық бойымен белгіленеді. Осының бойында К нүктесі орналастырылған деп алып, К = (0, k) болсын, мұндағы (0 < k < b).
Берілген шарт бойынша:
[
5,AK=BK.
]
Мұндағы,
• (AK) – А мен К арасындағы қашықтық, яғни (AK=k);
• (BK) – B мен К арасындағы қашықтық, оның формуласы:
[
BK=\sqrt{(b-0)^2+(0-k)^2}=\sqrt{b^2+k^2}.
]
Сонымен, шартты жазамыз:
[
5k=\sqrt{b^2+k^2}.
]
Екі жақты квадраттаймыз:
[
25k^2=b^2+k^2 \quad \Rightarrow \quad b^2=24k^2.
]
Осыдан,
[
b= \sqrt{24},k = 2\sqrt6,k.
]
Үшбұрыштың AС катеті ұзындығы (AC=b= 2\sqrt6,k). К нүктесінің А мен C арасындағы бөлу қатынасын табайық:
• (AK=k);
• (KC=AC-AK=2\sqrt6,k-k=k(2\sqrt6-1)).
Осылайша, К нүктесінің АС-ты бөлу қатынасы
[
AK:KC= k: k(2\sqrt6-1)=1:(2\sqrt6-1).
]
Нәтижесінде, К нүктесі АС катетін былай бөледі: (AK=\dfrac{AC}{2\sqrt6}) және (KC=\dfrac{AC(2\sqrt6-1)}{2\sqrt6}), яғни (AK:KC=1:(2\sqrt6-1)).
Мы имеем равнобедренный прямоугольный треугольник, в котором катеты равны, а угол прямой находится в вершине A (так как катеты — стороны, прилегающие к прямому углу). Пусть A = (0, 0), C = (a, 0) (то есть AC = a) и B = (0, a) (так как AB = a). Точка K лежит на катете AC, то есть её координаты (x, 0), где 0 < x < a.
Условие задачи гласит, что длина отрезка BK равна 5·AK. В наших обозначениях:
АК = x,
BK = расстояние между точками B и K = √[(x – 0)² + (0 – a)²] = √(x² + a²).
По условию имеем:
5x = √(x² + a²).
Возведём оба члена в квадрат:
(5x)² = x² + a² ⟹ 25x² = x² + a².
Отсюда:
a² = 25x² – x² = 24x² ⟹ a = √24·x = 2√6·x.
Таким образом, катет AC имеет длину a = 2√6·x, а отрезок KC равен:
KC = AC – AK = 2√6·x – x = x(2√6 – 1).
Отсюда отношение, в котором точка K делит катет AC, можно записать как:
АК : KC = x : [x(2√6 – 1)] = 1 : (2√6 – 1).
Можно также выразить доли от всего катета:
АК = x = AC/(2√6),
KC = AC – AC/(2√6) = AC·(1 – 1/(2√6)).
Ответ: точка K делит катет AC в отношении 1 : (2√6 – 1), то есть AK составляет 1/(2√6) от всей длины катета, а KC — оставшуюся часть.