Теңбүйірлі үшбұрыштың биіктігін табыңыз: бұрышы 120°, табаны 10 см.
Теңбүйірлі үшбұрыштың биіктігін табыңыз: бұрышы 120°, табаны 10 см.
Задача сводится к нахождению высоты равнобедренного треугольника с вершиной, равной 120°, и основанием 10 см.
Представим равнобедренный треугольник ABC, где основание AB = 10 см, а вершина – точка C с углом 120°. Начертим высоту CH, опущенную из вершины C на основание AB. Из свойств равнобедренного треугольника высота опущенная из вершины делит основание пополам, то есть AH = HB = 5 см, и разбивает угол C пополам (по 60°).
Рассмотрим прямоугольный треугольник CH A, где:
• угол CH A = 90°,
• угол C равен 60°,
• противолежащий катет (высота) обозначим h,
• прилежащий катет – 5 см.
Применяем отношение тангенса:
tan(60°) = h / 5.
Известно, что tan(60°) = √3, отсюда:
√3 = h / 5 ⟹ h = 5√3.
Таким образом, высота равнобедренного треугольника равна 5√3 см.
Бізде теңбүйірлі үшбұрыш берілген, оның табаны 10 см, ал теңбүйірлердің арасындағы бұрыш 120°. Үшбұрыштың биіктігін табу керек.
Алдымен, теңбүйірлі үшбұрыштың қасиеттерін еске алайық:
• Үшбұрыштың теңбүйірлік бөлігі болғандықтан, биіктік (перпендикуляр) табаны дәл екіге бөледі.
• Биіктік шығыс нүктесінде бірден екі торына да тең бұрыш (бұрышты екіге бөлетін) жасайды, сондықтан 120° бұрыш екіге бөлініп, 60° болады.
Енді бір тік бұрышты үшбұрышты қарастырайық, онда:
• Гипотенуза – үшбұрыштың тең қабырғасы (a).
• Негізгі бұрыш – 60° (король бұрышы), ал қарашығы – (30°)-ды емес; өйткені биіктік төбеден түспей, теңбүйірлі үшбұрыштың симметриясымен бөлінген.
Алайда, тік бұрышты үшбұрышта мына қатынастарды қолданамыз:
• Гипотенузаның қарсысына ( \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2} ) қатынасы бар және
• Биіктік – гипотенузаның қабаттысы болып табылады: ( h = a \cos60° = \frac{a}{2} ).
Бірінші қадам – тең қабырға (a)-ны табу. Табаны екіге бөлгенде әр бөлік 5 см болады. Тік үшбұрыштан:
( \sin(60°) = \frac{5}{a} ).
Бұдан:
( a = \frac{5}{\sin60°} = \frac{5}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{10}{\sqrt{3}} ).
Енді биіктікті есептейміз:
( h = \frac{a}{2} = \frac{10}{2\sqrt{3}} = \frac{5}{\sqrt{3}} ) см.
Көпшілік практикада иррационал бөлшекті таза түрде жазу ұнатылғандықтан, оны мынадай түрде жаза аламыз:
( h = \frac{5\sqrt{3}}{3} ) см.
Қорытындылай келе, теңбүйірлі үшбұрыштың биіктігі:
( h = \frac{5\sqrt{3}}{3} \text{ см} ).