Теңбүйірлі үшбұрыштың бұрышы 120°, табаны 100 мм болса, биіктігін табыңыз.
Теңбүйірлі үшбұрыштың бұрышы 120°, табаны 100 мм болса, биіктігін табыңыз.
Мы имеем равнобедренный треугольник, в котором вершина при основании равна 120°, а сторона “основания” равна 100 мм.
Так как треугольник равнобедренный, углы при основании равны. Найдём их:
180° – 120° = 60°, а поскольку углы при основании равны, каждый равен 30°.
Обозначим равные стороны треугольника через a. Применяем закон косинусов для нахождения a:
100² = a² + a² – 2a²·cos(120°).
Учтём, что cos(120°) = –1/2. Получаем:
10000 = 2a² – 2a²·(–1/2) = 2a² + a² = 3a²,
a² = 10000/3 ⇒ a = 100/√3.
Теперь проведём высоту из вершины с углом 120° на основание. Высота, проведённая из вершины равнобедренного треугольника, делит основание на две равные части по 50 мм.
Рассмотрим прямоугольный треугольник с гипотенузой a и одним катетом, равным 50 мм. Найдём высоту h:
h² + 50² = a² = (100/√3)² = 10000/3,
h² = 10000/3 – 2500 = (10000 – 7500)/3 = 2500/3,
h = √(2500/3) = 50/√3 мм.
Можно записать ответ в виде:
h = (50√3)/3 мм.
Таким образом, высота треугольника равна (50√3)/3 мм, что приблизительно равно 28,87 мм.
Мәселе: теңбүйірлі үшбұрыштың бұрышы 120° және табаны 100 мм болған жағдайда, оның биіктігін табу қажет.
Алдымен үшбұрыштың қасиеттерін ескерейік. Теңбүйірлі үшбұрыштың табаны мен бұрышы белгілі болғандықтан, оның қалған екі бұрышы тең болады. Үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы 180° болғандықтан, табан бұрыштары
(180° – 120°) / 2 = 30°
болып табылады. Яғни, табан бұрыштары әрқайсысы 30°.
Теңбүйірлі үшбұрыштың жоғарғы (вершина) бұрышынан табанға түсірілген биіктік оның медианасы және бұрыш бисектрисі болып табылады. Бұл биіктік табаны екі тең бөлікке бөліп, әр бөлік 100 мм-ді жарысқанда 50 мм болады.
Осыдан біз тең бұрышты тік бұрышты үшбұрыш аламыз, онда:
• бір бұрышы — 90° (биіктікпен құрмалас бұрыш),
• бір бұрышы — 30° (табан бұрышының жартысы),
• қалған бұрышы — 60°.
30-60-90 үшбұрышында бұрыштарға қарсы тұрған қабырғалар ара қатынастары былай болады:
• 30° бұрышының қарсысы: a,
• 60° бұрышының қарсысы: a√3,
• 90° бұрышының қарсысы (гипотенуза): 2a.
Бұл жағдайда, тік бұрышты үшбұрыштың 60° бұрышына қарсы тұрған қабырға — табанның жартысы, яғни 50 мм. Демек,
a√3 = 50
осылайша,
a = 50/√3.
Дәл осы a мәні – үшбұрыштың биіктігі. Оны иррационалдандыру арқылы былай жазуға болады:
h = ( \frac{50\sqrt{3}}{3} ) мм.
Қорытыңдылай келе, теңбүйірлі үшбұрыштың биіктігі ( \frac{50\sqrt{3}}{3} ) мм болады.