Теңбүйірлі АВС үшбұрышы АС=CB=a, \angle BAC = 30^\circ, жазықтықтан тыс М нүктесінен АВС жазықтығына СМ – перпендикуляр тұрғызылған, СМ=a. АМ және МВС жазықтығы арасындағы бұрышты табыңыз.
Теңбүйірлі АВС үшбұрышы АС=CB=a, \angle BAC = 30^\circ, жазықтықтан тыс М нүктесінен АВС жазықтығына СМ – перпендикуляр тұрғызылған, СМ=a. АМ және МВС жазықтығы арасындағы бұрышты табыңыз.
В задаче дан равнобедренный треугольник ABC с AC = CB = a и углом при вершине A равным 30°. Из точки M, не лежащей в плоскости треугольника, на эту плоскость опущена высота (перпендикуляр) CM, причем длина CM тоже равна a. Требуется найти угол между прямой AM и плоскостью, определяемой точками M, B и C (это плоскость МВС).
Чтобы решить задачу удобно ввести прямоугольную систему координат. Можно поступить следующим образом:
Осталось определить точку B так, чтобы выполнялись условия:
– CB = a (то есть расстояние от B до (0,0) равно a),
– угол ∠BAC = 30° (угол между векторами A→C и A→B).
Обозначим координаты точки B как B = (a cosθ, a sinθ). Вычислим вектор A→C = C – A = (–a, 0, 0) и A→B = B – A = (a cosθ – a, a sinθ, 0). Требуется, чтобы угол между A→C и A→B был 30°. Его косинус равен
cos30 = (A→C · A→B) / (|A→C|∙|A→B|).
Расписывая скалярное произведение, получаем:
A→C · A→B = (–a)(a cosθ – a) = a²(1 – cosθ).
При этом |A→C| = a, а |A→B| = a√[(1 – cosθ)² + sin²θ] = a√[2 – 2 cosθ]. Тогда
cos30 = [a²(1 – cosθ)] / [a∙a√(2(1–cosθ))] = √[(1 – cosθ)/2].
Приравнивая √[(1 – cosθ)/2] к cos30 = √3/2 получаем:
(1 – cosθ)/2 = 3/4 ⟹ 1 – cosθ = 3/2 ⟹ cosθ = –1/2.
Выбирая, например, θ = 120°, получим B = (a cos120, a sin120) = (–a/2, a√3/2, 0).
Далее необходимо найти угол между прямой AM и плоскостью, проходящей через точки M, B и C (обозначим её как плоскость МВС).
Пошаговое решение:
Определим направляющий вектор прямой AM. Он равен
d = M – A = (0 – a, 0 – 0, a – 0) = (–a, 0, a).
Можно взять d = (–1, 0, 1), поскольку множитель a не влияет на угол.
Найдем нормальный вектор плоскости МВС. Для этого возьмем два ненулевых вектора, лежащих в этой плоскости:
MB = B – M = (–a/2 – 0, a√3/2 – 0, 0 – a) = (–a/2, a√3/2, –a),
MC = C – M = (0–0, 0–0, 0–a) = (0, 0, –a).
Векторное произведение этих двух векторов даст нормаль n:
n = MB × MC.
Вычислим:
n₁ = (a√3/2)(–a) – (–a)(0) = –(a²√3/2),
n₂ = –[ (–a/2)(–a) – (–a)(0) ] = –(a²/2),
n₃ = (–a/2)(0) – (a√3/2)(0) = 0.
Таким образом, n = (–a²√3/2, –a²/2, 0). Отметим, что множитель a² не влияет на направление, поэтому примем единичный нормальный вектор
n₀ = (√3/2, 1/2, 0)
(перенос знака не влияет на модуль угла).
Угол между прямой и плоскостью определяется как дополнительный к углу между направляющим вектором d и нормалью n₀. Пусть α – угол между d и n₀, тогда искомый угол φ равен
φ = 90° – α.
Найдем cosα:
cosα = |d · n₀| / (||d||∙||n₀||).
d = (–1, 0, 1), ||d|| = √(1 + 0 + 1) = √2.
Выпишем скалярное произведение:
d · n₀ = (–1)(√3/2) + 0∙(1/2) + 1∙0 = –√3/2.
Берем модуль: |d · n₀| = √3/2.
Таким образом, cosα = (√3/2) / √2 = √3/(2√2) = (√6)/4.
Отсюда α = arccos(√6/4).
Тогда угол между прямой AM и плоскостью МВС:
φ = 90° – arccos(√6/4)
или, что то же самое, sin φ = cosα = (√6)/4.
В числовом выражении: (√6)/4 ≈ 2.449/4 ≈ 0.612, откуда φ ≈ arcsin(0.612) ≈ 37.8°.
Вывод: искомый угол между прямой AM и плоскостью, содержащей точки M, B и C, составляет примерно 38°.
Таким образом, правильный ответ – угол порядка 38°.
Бізден келесі тапсырма сұралады. Теңбүйірлі АВС үшбұрышында (тең бүйірлер – АС және CB, ұзындығы a) ∠BAC = 30° беріліп тұр. Жазықтықтан тыс орналасқан М нүктесінен АВС жазықтығына СМ перпендикуляры салынып, СМ = a екені айтылған. Сонымен, М нүктесінің орналасуы – дәл С нүктесінің үстінде (C – АВС жазықтығындағы нүкте, яғни перпендикулярдың табанында). Содан кейін, АМ түзігінің және М, B, C нүктелері орналасқан (МВС) жазықтығының арасындағы бұрышты табу қажет.
Бірнеше негізгі ойды атап өтейік:
• М нүктесі жазықтықтан тыс, ал оның АВС жазықтығына түсірілген проекциясы – C нүктесінде. Сондықтан СМ перпендикуляр болып табылады (жазықтықтың орналасуында тік бағытты белгілейді).
• Біз АМ түзігін қарастырып, оны МВС жазықтығына қатысты анықтаймыз. АМ түзігінің проекциясы (немесе МВС жазықтығына құйылған тің тіке бейнесі) және АМ түзігінің өз араларындағы бұрыш – біз іздейтін үлкен бұрыштың толықтағы толықтауышы.
Екі әдісті қолдануға болады, бірақ ең ыңғайлысы – сызық-бұрыш пен жазықтық арасындағы бұрышты есептеуде келесі формуланы қолдану:
“Жазықтық пен түзу арасындағы бұрыш = 90° – (түзу мен жазықтықтың нормаль сызығы арасындағы бұрыш)”
немесе, тура алғанда,
sin(θ) = |(v · n)|⁄(|v|·|n|),
мұндағы v – қарастырылып жатқан түзу (АМ) бағыты, n – (МВС) жазықтығының нормаль векторы, ал θ – түзу мен жазықтық арасындағы бұрыш.
Осы есепті шарлау үшін координаттар жүйесін енгізейік:
Келесі қадам – МВС жазықтығының нормал векторын табу. Бұл жазықтықты М, B, C нүктелері анықтайды:
Жазықтық пен түзу арасындағы бұрышты (θ) табу үшін, жоғарыда аталған формула бойынша:
sin(θ) = |AM · n|⁄(|AM|·|n|).
Енді есептейік:
Сонда,
sin(θ) = (a^3√3/2)⁄(a√2 · a^2) = √3/(2√2).
Демек, мұндағы нақты бұрыш:
θ = arcsin(√3/(2√2)).
Шамамен, √3/(2√2) ≈ 0.612, сондықтан θ ≈ 38° (38° шамасында).
Қорыта айтқанда, АМ түзігімен МВС жазықтығы арасындағы бұрыштың мәні:
θ = arcsin(√3/(2√2)) ≈ 38°.
Дегенмен, есептің негізгі идеясы – координаттар жүйесінде үшбұрыштың және М нүктесінің дұрыс таңдалуы және векторлық әдіс арқылы нормаль вектор мен түзу арасындағы бұрышты анықтау. Бұл әдіс арқылы алынған нәтиже сенімді және түсінікті.