\tan(π - α)\tan(\frac{π}{2} + α) - \cos(π + α)\sin(π - α) өрнегін ықшамдаңыз.
\tan(π - α)\tan(\frac{π}{2} + α) - \cos(π + α)\sin(π - α) өрнегін ықшамдаңыз.
Мәселе:
$$\tan(π - α),\tan\Big(\frac{π}{2}+α\Big) - \cos(π+α),\sin(π-α)$$
өрнегін ықшамдау.
Мысалды шешу жолы:
• Бірінші кезең:
- \tan(π-α) санасында пайдалану керек тан функциясының периодты қасиеті:
\tan(π-α) = -\tanα. - \tan\Big(\frac{π}{2}+α\Big) үшін идентичность:
\tan\Big(\frac{π}{2}+α\Big) = -\cotα.
• Екінші кезең:
Екі функцияның көбейтіндісі:
$$\tan(π-α),\tan\Big(\frac{π}{2}+α\Big) = (-\tanα)(-\cotα) = \tanα,\cotα.$$
Бірақ,
$$\tanα,\cotα=\frac{\sinα}{\cosα}\cdot\frac{\cosα}{\sinα}=1.$$
• Үшінші кезең:
- \cos(π+α) функциясын ықшамдау:
\cos(π+α) = -\cosα. - \sin(π-α) функциясы үшін:
\sin(π-α) = \sinα.
Сонда,
$$\cos(π+α),\sin(π-α) = (-\cosα),\sinα = -\cosα,\sinα.$$
• Төртінші кезең:
Бастапқы өрнек былай жазылады:
$$1 - (-\cosα,\sinα) = 1 + \cosα,\sinα.$$
Қорытынды:
Өрнекті ықшамдағанда нәтиже:
$$1+\cosα,\sinα.$$
Осылайша, сұрақтағы өрнекті ықшамдағанда дұрыс жауап $$1+\cosα,\sinα$$ болады.
Мы должны упростить выражение
tan(π – α)·tan(π/2 + α) – cos(π + α)·sin(π – α).
Рассмотрим по частям.
Сначала преобразуем первое слагаемое. Напомним, что
tan(π – α) = –tan α
и
tan(π/2 + α) = –cot α
(поскольку cot α = 1/tan α при tan α ≠ 0). Тогда произведение становится:
(–tan α)·(–cot α) = tan α·cot α.
Учитывая, что tan α·cot α = (tan α)·(1/tan α) = 1, получаем, что первое слагаемое равно 1.
Теперь рассмотрим второе слагаемое. Напомним следующие тригонометрические тождества:
cos(π + α) = –cos α,
sin(π – α) = sin α.
Тогда:
cos(π + α)·sin(π – α) = (–cos α)·(sin α) = –cos α sin α.
Поскольку во исходном выражении второе слагаемое вычитается, получим:
– (cos(π + α)·sin(π – α)) = – (–cos α sin α) = cos α sin α.
Собираем всё вместе:
1 + cos α sin α.
При желании можно записать через удвоенный угол, используя тождество sin 2α = 2 sin α cos α, тогда
cos α sin α = ½ sin 2α,
и окончательный вид:
1 + ½ sin 2α.
Таким образом ответ:
1 + cos α sin α или 1 + ½ sin 2α.