\tan(45° - x) = \frac{1}{3} теңдеуін шешіңіз.
\tan(45° - x) = \frac{1}{3} теңдеуін шешіңіз.
Уравнение имеет вид:
tan(45° – x) = 1/3.
Чтобы решить его, можно записать равенство через арктангенс. Напомним, что если tan(θ) = 1/3, то угол θ равен arctan(1/3) с периодом 180° (то есть, любые углы вида θ = arctan(1/3) + 180°·k, где k ∈ ℤ, удовлетворяют равенству).
Пусть 45° – x = arctan(1/3) + 180°·k, k ∈ ℤ. Тогда, решая уравнение относительно x, получаем:
x = 45° – arctan(1/3) – 180°·k.
Можно заменить −180°·k на +180°·n, где n = –k, так как n пробегает все целые числа. Тогда решение примет вид:
x = 45° – arctan(1/3) + 180°·n, где n ∈ ℤ.
Итак, общее решение уравнения:
x = 45° – arctan(1/3) + 180°·n.
Если требуется одно конкретное значение, можно подставить n = 0. Тогда получим:
x = 45° – arctan(1/3).
Таким образом, общий вид решения уравнения записан выше.
Сеннен \tan(45°-x)=\frac{1}{3} теңдеуін шешу сұралғанын байқадым. Бұл жерде берілген бұрыштық функцияларда миллеттік байланыс қолданылады.
Алдымен, 45° градус бұрышының тангенсі 1-ге тең екенін еске түсірейік. Сондықтан
$$\tan(45°-x)=\frac{\tan45°-\tan x}{1+\tan45°\tan x}=\frac{1-\tan x}{1+\tan x}.$$
Сонда теңдеу былай болады:
$$\frac{1-\tan x}{1+\tan x}=\frac{1}{3}.$$
1. Есептеу қадамдары:
• Екі жақты көбейтеміз:
$$3(1-\tan x)=1+\tan x.$$
• Жайтап жинаймыз:
$$3-3\tan x=1+\tan x \quad \Longrightarrow \quad 3-1=3\tan x+\tan x,$$
$$2=4\tan x.$$
• Соңында:
$$\tan x=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}.$$
2. Қолданылған қағида:
Мұнда тангенстің айырмасы формуласы қолданылып, алгебралық амалдардың көмегімен x бұрышын табамыз. Тангент функциясының периодтылығы (180°) бойынша, жалпы шешімі:
$$x=\arctan\frac{1}{2}+180°\cdot k, \quad k\in\mathbb{Z}.$$
Егер нақты мәнін алсақ, \arctan\frac{1}{2}\approx26.565°, сондықтан:
$$x\approx26.565°+180°\cdot k.$$
3. Қорытынды:
Демек, \tan(45°-x)=\frac{1}{3} теңдеуінің шешімі –
$$x=\arctan\frac{1}{2}+180°\cdot k,$$
немесе жуық мәні:
$$x\approx26.565°+180°\cdot k, \quad k\in\mathbb{Z}.$$
Бұл жерде k кез келген бүтін сан, яғни теңдеу периодтылық қасиеті бойынша шексіз көп шешімге ие.