\tan(45° - α) = \frac{1}{3} теңдеуін шешіңіз.
\tan(45° - α) = \frac{1}{3} теңдеуін шешіңіз.
Задача сводится к решению уравнения
tan(45° – α) = 1/3.
Первым делом воспользуемся соотношением для разности углов для тангенса. Напомним, что для любых углов A и B выполняется формула
tan(A – B) = (tan A – tan B) / (1 + tan A · tan B).
Теперь подставим A = 45° (при котором tan 45° = 1) и B = α:
tan(45° – α) = (1 – tan α) / (1 + tan α).
Таким образом, наше уравнение принимает вид:
(1 – tan α) / (1 + tan α) = 1/3.
Чтобы решить это уравнение, обозначим t = tan α. Тогда получим:
(1 – t) / (1 + t) = 1/3.
Перемножим крест-накрест:
3(1 – t) = 1 + t.
Раскроем скобки и решим относительно t:
3 – 3t = 1 + t
3 – 1 = 3t + t
2 = 4t
t = 2/4 = 1/2.
Таким образом, получаем, что tan α = 1/2.
Переходя к нахождению α, запишем:
α = arctan(1/2) + k·180°, где k ∈ ℤ
Если решать в градусах, то основное значение:
α ≈ arctan(0.5) ≈ 26.565°.
Ответ: решение уравнения задаётся выражением
α = arctan(1/2) + k·180° или α ≈ 26.565° + k·180°, где k ∈ ℤ.
Это и есть ответ задачи.
Сіз берген теңдеуіміз:
tan(45° − α) = 1⁄3
Бұдан шығару жолын былай қарайық:
• Алдымен, тангенсің косинус және синустық айырмашылығын есептеу ережесін пайдаланып,
tan(45° − α) = (tan45° − tanα)/(1 + tan45°·tanα)
бірақ tan45° = 1 болғандықтан,
tan(45° − α) = (1 − tanα)/(1 + tanα).
• Сонда теңдеуіміз:
(1 − tanα)/(1 + tanα) = 1⁄3.
• Екі жақты көбейтіп аламыз:
3(1 − tanα) = 1 + tanα.
• Оны ашып, топтастырайық:
3 − 3tanα = 1 + tanα
3 − 1 = 3tanα + tanα
2 = 4tanα
сондықтан, tanα = 2⁄4 = 1⁄2.
• tanα = 1⁄2 тең болғанда, негізгі бұрыш мәні α ≈ arctan(1⁄2) ≈ 26.565° деп табылады.
• Сонымен, α-ның жалпы шешімі:
α = 26.565° + 180°∙k, мұндағы k — кез-келген бүтін сан.
Демек, теңдеудің жауабы:
α = arctan(1⁄2) + 180°∙k, яғни шамамен 26.565° + 180°∙k, k ∈ ℤ.
Осындай есептеу жолымен талдап шықтық. Барлық кезеңдер түсінікті деп үміттенемін!