Тікбұрышты трапецияның бүйір қабырғалары 15 және 9 см, үлкен табаны 20 см. Трапецияның ауданын табыңыз.
Тікбұрышты трапецияның бүйір қабырғалары 15 және 9 см, үлкен табаны 20 см. Трапецияның ауданын табыңыз.
Итак, нам дан тікбұрышты трапеция (прямоугольная трапеция), у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям. Из условии боковые стороны равны 15 см и 9 см, а большая основа – 20 см.
Поскольку трапеция прямая, меньшая из боковых сторон является высотой. То есть, примем h = 9 см. В этом случае другая боковая сторона (15 см) является наклонной.
Найдем длину проекции наклонной стороны на основание. Обозначим её за d. По прямоугольному треугольнику (где гипотенуза — наклонная сторона, катет — высота) имеем:
d = √(15² – 9²) = √(225 – 81) = √144 = 12 см.
Эта проекция равна разности длин оснований, т.е. если большая основа равна 20 см, то меньшая основа будет:
малая основа = 20 – 12 = 8 см.
Площадь трапеции вычисляется по формуле:
S = ½ (большая основа + малая основа) · высота = ½ (20 + 8) · 9 = ½ · 28 · 9 = 14 · 9 = 126 см².
Таким образом, площадь трапеции равна 126 см².
Сұрақта тікбұрышты трапеция берілген, яғни бір бұрышы 90° болатын трапеция. Мұнда трапецияның бүйір қабырғаларының ұзындықтары 15 см және 9 см, ал үлкен табаны 20 см екені айтылған.
Біріншіден, тікбұрышты трапецияда бір бүйір қабырға табанға перпендикуляр келеді – яғни биіктік болады. Шарттардан биіктік 9 см деп аламыз, ал қалған бүйір қабырға – көлбең қабырға – ұзындығы 15 см.
Көлбең қабырғаның көлденең проекциясын табу үшін Пифагор теоремасын қолданамыз. Егер биіктік 9 см, ал көлбең қабырға 15 см болса, онда көлденең проекция (қалыңдық) былай есептеледі:
x = √(15² – 9²) = √(225 – 81) = √144 = 12 см.
Тікбұрышты трапецияда үлкен және кіші табандар параллель, ал кіші табан мен үлкен табан арасындағы көлденең айырмашылықты көлбең қабырғаның көлденең проекциясы құрайды. Сондықтан кіші табан ұзындығы:
кіші табан = үлкен табан – бұрыштағы көлденең проекция = 20 – 12 = 8 см.
Трапецияның ауданын табу формуласы:
A = ((үлкен табан + кіші табан) / 2) × биіктік.
Енді формулаға сандарды қоямыз:
A = ((20 + 8) / 2) × 9 = (28 / 2) × 9 = 14 × 9 = 126 см².
Осылайша, тікбұрышты трапецияның ауданы 126 см².