Тік параллелепипедтің табан қабырғалары 3 және 5, диагоналы табанмен 60° бұрыш жасаса, үлкен диагоналын табыңыз.
Тік параллелепипедтің табан қабырғалары 3 және 5, диагоналы табанмен 60° бұрыш жасаса, үлкен диагоналын табыңыз.
Сұрақта тік параллелепипедтің табан қабырғалары 3 және 5, ал оның үлкен диагоналімен табан жазықтығы түзулігі арасындағы бұрыш 60° деген шарттар берілген. Мұнда табанның диагоналі – параллелепипедтің негізіндегі тік бұрышты төртбұрыштың диагоналі.
Алдымен табанның диагоналін табамыз. Егер қабырғалары 3 және 5 болса, Пифагор теоремасы бойынша табан диагоналі былай есептеледі:
(d_{\text{таб}} = \sqrt{3^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34}.)
Енді үлкен диагональды (D) есептейміз. Тік параллелепипедте үлкен диагональдың проекциясы табан диагоналіне тең болғандықтан, осы проекция мен үлкен диагональ арасындағы бұрышты ойланып көрейік. Егер үлкен диагональді (D) деп, оның проекциясын (d_{\text{таб}}) деп белгілесек, бұрыш мынандай қатынас береді:
(\cos 60° = \frac{d_{\text{таб}}}{D}.)
Өйткені (\cos 60° = \frac{1}{2}), сондықтан:
(\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{34}}{D}) ⇒ (D = 2\sqrt{34}.)
Демек, үлкен диагональ (2\sqrt{34}) болады.
Қорытындылай келе, тік параллелепипедтің үлкен диагоналы (2\sqrt{34}) тең.
Мы имеем задачу о т. параллелепипеде, в котором известно, что ребра основания равны 3 и 5, а большой (пространственный) диагональ образует с основанием угол 60°. Нужно найти длину этой диагонали.
Рассмотрим основание. Оно прямоугольное, и его диагональ равна
d₁ = √(3² + 5²) = √(9 + 25) = √34.
В т. параллелепипеде пространственный диагональ (обозначим её D) откладывает на основании именно эту проекцию (диагональ основания). Если угол между диагональю D и основанием равен 60°, то по определению косинуса получаем соотношение:
cos 60° = (проекция диагонали на основание) / D = (√34) / D.
Поскольку cos 60° = 1/2, то имеем:
1/2 = √34 / D ⇒ D = 2√34.
Таким образом, длина большого диагоналя параллелепипеда равна 2√34.