\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{2^n} қатардың қосындысы.
\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{2^n} қатардың қосындысы.
Рассмотрим ряд
S = Σₙ₌₁∞ (-1)ⁿ⁄2ⁿ.
Этот ряд можно записать как геометрический, где каждый последующий член получается умножением на постоянное число. В данном случае первым членом ряда является
a = (-1)/2
а знаменателем геометрической прогрессии является
r = (-1)/2.
Формула суммы бесконечного геометрического ряда, начинающегося с n = 0, имеет вид
S₀ = a₀⁄(1 - r),
где a₀ — первый член. Однако наш ряд начинается с n = 1, поэтому можно воспользоваться двумя способами.
Способ 1. Вычислим сумму ряда, начиная с n = 0, а затем вычтем первый член:
- Ряд с n = 0:
a₀ = 1,
r = (-1)/2,
S₀ = 1⁄(1 - (-1/2)) = 1⁄(1 + 1/2) = 1⁄(3/2) = 2⁄3. - Вычтем член при n = 0:
S = S₀ - 1 = 2⁄3 - 1 = -1⁄3.
Способ 2. Применим формулу для ряда, начинающегося с n = 1,
S = (a·r)/(1 - r),
но тут a уже будет первым членом ряда (при n = 1): a = (-1)/2, то есть
S = ((-1)/2)/(1 - (-1/2)) = ((-1)/2)/(3/2) = -1/3.
В обоих способах получаем, что сумма ряда равна -1/3.
Берілген қатар – (\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{2^n}) – геометриялық қатар болып табылады, оның жалпы түрі: (\displaystyle \sum_{n=1}^\infty r^n), мұнда (r=-\frac{1}{2}).
Например, геометриялық қатарлардың қосындысы мына формуламен есептеледі:
[
\sum_{n=1}^\infty r^n = \frac{r}{1-r}, \quad \text{егер } |r| < 1.
]
Осыдан, бізде (r=-\frac{1}{2}) болғандықтан, формула қолданамыз:
[
\sum_{n=1}^\infty \left(-\frac{1}{2}\right)^n = \frac{-\frac{1}{2}}{1 - \left(-\frac{1}{2}\right)} = \frac{-\frac{1}{2}}{1 + \frac{1}{2}}.
]
Енді бөлшекті жеңілдетеміз:
[
1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2},
]
сондықтан:
[
\frac{-\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}} = -\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} = -\frac{1}{3}.
]
Сонымен қатар, қосынды (-\frac{1}{3}) болады.
Осылайша, (\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{2^n} = -\frac{1}{3}).