\sqrt{x^2 + 4x + 4} + \sqrt{x^2 - 6x + 9} өрнегін ықшамдаңыз.
\sqrt{x^2 + 4x + 4} + \sqrt{x^2 - 6x + 9} өрнегін ықшамдаңыз.
Выражение выглядит так:
√(x² + 4x + 4) + √(x² - 6x + 9)
Заметим, что оба выражения под корнями можно представить в виде полного квадрата.
Рассмотрим первый корень:
x² + 4x + 4 = (x + 2)²
Отсюда, √(x² + 4x + 4) = √((x + 2)²) = |x + 2|
Аналогично для второго корня:
x² - 6x + 9 = (x - 3)²
Отсюда, √(x² - 6x + 9) = √((x - 3)²) = |x - 3|
Таким образом, исходное выражение упрощается до:
|x + 2| + |x - 3|
Это и есть конечный результат, так как без дополнительной информации о значениях x дальнейшее упрощение с учётом знаков невозможно.
Сен сұраған өрнек:
[
\sqrt{x^2+4x+4}+\sqrt{x^2-6x+9}.
]
Біз оны ықшамдау барысында былай жасаймыз:
• Алдымен, ішіндегі квадраттық трехмүшені қарастырайық. Шамасы ( x^2+4x+4 ) көбейтіндісі ( (x+2)^2 )-ке тең, себебі:
[
(x+2)^2 = x^2 + 2\cdot 2\cdot x + 2^2 = x^2 + 4x + 4.
]
• Сол сияқты, ( x^2-6x+9 ) өрнегі ( (x-3)^2 )-ке тең, өйткені:
[
(x-3)^2 = x^2 - 2\cdot 3\cdot x + 3^2 = x^2 - 6x+9.
]
• Демек, бастапқы өрнек келесі түрде жазылады:
[
\sqrt{(x+2)^2}+\sqrt{(x-3)^2}.
]
Әр квадрат түбір функциясы модульді шығарады, яғни:
[
\sqrt{(x+2)^2}=|x+2|,\quad \sqrt{(x-3)^2}=|x-3|.
]
• Ақырында, өрнек ықшамдалады:
[
|x+2|+|x-3|.
]
Сондықтан, дұрыс ықшамдалған түрі:
[
\boxed{|x+2|+|x-3|.}
]