\sin α = \frac{5}{13} және 90° < α < 180° болса, \cos α мәнін табыңыз.
\sin α = \frac{5}{13} және 90° < α < 180° болса, \cos α мәнін табыңыз.
В задании нужно найти значение косинуса угла α, если известно, что
sin α = 5/13
и угол α находится во второй четверти (90° < α < 180°).
Используем основное тригонометрическое тождество:
sin²α + cos²α = 1.
Подставляем sin α = 5/13:
(5/13)² + cos²α = 1
25/169 + cos²α = 1
Отсюда
cos²α = 1 - 25/169 = (169 - 25)/169 = 144/169.
Найдем cos α:
cos α = ±√(144/169) = ±12/13.
Так как угол α находится во второй четверти, где косинус всегда отрицателен, выбираем отрицательное значение:
cos α = -12/13.
Ответ: cos α = -12/13.
α бұрышы екінші ширекке жататындықтан, оның синусы оң, ал косинусы теріс болады.
• Синус пен косинустың арасындағы байланысты еске түсірейік:
(\sin^2α + \cos^2α = 1)
бұл теңдеуден (\cos^2α = 1 - \sin^2α) деп табамыз.
• Берілген (\sinα = \frac{5}{13}), сондықтан
(\sin^2α = \left(\frac{5}{13}\right)^2 = \frac{25}{169}).
• Одан (\cos^2α) табамыз:
(\cos^2α = 1 - \frac{25}{169} = \frac{169}{169} - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}).
• Енді (\cosα) табу үшін квадрат түбірін аламыз:
(\cosα = \pm\sqrt{\frac{144}{169}} = \pm\frac{12}{13}).
• Алайда, (90° < α < 180°) шарты бойынша, бұрыш IIінші ширекте, сондықтан косинус теріс болады.
Сондықтан, (\cosα = -\frac{12}{13}).
Қорытындылай келе, дұрыс жауап: (-\frac{12}{13}).