Шеңбер теңдеуі: x² + y² - 4x - 6y + 12 = 0. Радиусты табыңыз.
Шеңбер теңдеуі: x² + y² - 4x - 6y + 12 = 0. Радиусты табыңыз.
В условии дана схема равенства: x² + y² - 4x - 6y + 12 = 0. Необходимо найти радиус круга.
Чтобы это сделать, приводим уравнение к каноническому виду с помощью выделения полных квадратов.
-
Группируем x и y:
(x² - 4x) + (y² - 6y) + 12 = 0. -
Выделяем полный квадрат для x:
x² - 4x = (x - 2)² - 4.Аналогично для y:
y² - 6y = (y - 3)² - 9. -
Подставляем обратно:
(x - 2)² - 4 + (y - 3)² - 9 + 12 = 0. -
Считаем сумму чисел:
-4 - 9 + 12 = -1.Получаем:
(x - 2)² + (y - 3)² - 1 = 0, или
(x - 2)² + (y - 3)² = 1. -
Стандартная форма уравнения круга — (x - a)² + (y - b)² = R². Здесь R² = 1, следовательно, R = 1.
Таким образом, радиус данного круга равен 1.
Сізге берілген шеңбердің теңдеуінен радиусты табу міндеті қойылған: x² + y² - 4x - 6y + 12 = 0.
Алдымен шеңбер теңдеуін толық квадраттарға келтіреміз.
-
x² - 4x өрнегін толық квадратқа келтіру үшін:
x² - 4x = (x - 2)² - 4 -
y² - 6y өрнегін толық квадратқа келтіру үшін:
y² - 6y = (y - 3)² - 9
Осылайша, теңдеуді қайта жазамыз:
(x - 2)² - 4 + (y - 3)² - 9 + 12 = 0
Бұл өрнекті жинастырып:
(x - 2)² + (y - 3)² - (4 + 9 - 12) = 0 ⇒ (x - 2)² + (y - 3)² - 1 = 0
Енді теңдеуді келесі түрде жазамыз:
(x - 2)² + (y - 3)² = 1
Стандартты шеңбер теңдеуінде:
(x - h)² + (y - k)² = r²,
мұндағы (h, k) – шеңбердің центрінің координаталары, ал r² – радиустың квадраты.
Біздің теңдеуімізде r² = 1, сондықтан:
r = √1 = 1
Осылайша, шеңбердің радиусы 1 бірлікке тең.