Үшбұрыштың іштей сызылған шеңбер радиусын тап: қабырғалары 1, 3, \sqrt{7}
Үшбұрыштың іштей сызылған шеңбер радиусын тап: қабырғалары 1, 3, \sqrt{7}
Задача сводится к нахождению радиуса вписанной окружности в треугольник с известными сторонами. Вспомним, что радиус вписанной окружности r находится по формуле
r = A/s,
где A – площадь треугольника, а s – его полупериметр.
Начнём с вычисления полупериметра s. Обозначим стороны треугольника как a = 1, b = 3, c = √7. Тогда
s = (a + b + c)/2 = (1 + 3 + √7)/2 = (4 + √7)/2.
Чтобы найти площадь A, удобно воспользоваться формулой Герона:
A = √[s(s – a)(s – b)(s – c)].
Вычислим необходимые разности:
s – a = (4 + √7)/2 – 1 = (4 + √7 – 2)/2 = (2 + √7)/2,
s – b = (4 + √7)/2 – 3 = (4 + √7 – 6)/2 = (√7 – 2)/2,
s – c = (4 + √7)/2 – √7 = (4 + √7 – 2√7)/2 = (4 – √7)/2.
Таким образом, подкоренное выражение имеет вид:
s(s – a)(s – b)(s – c) = ((4 + √7)/2) · ((2 + √7)/2) · ((√7 – 2)/2) · ((4 – √7)/2).
Заметим, что произведение ((4 + √7)(4 – √7)) = 16 – 7 = 9, а произведение ((2 + √7)(√7 – 2)) = (√7)² – 4 = 7 – 4 = 3. Поскольку знаменатель – 2⁴ = 16, получаем:
s(s – a)(s – b)(s – c) = (9·3)/16 = 27/16.
Отсюда
A = √(27/16) = (√27)/4 = (3√3)/4.
Теперь находим радиус вписанной окружности:
r = A/s = ((3√3)/4) / ((4 + √7)/2) = (3√3)/4 · 2/(4 + √7) = (3√3)/(2(4 + √7)).
Можно упростить это выражение, домножив числитель и знаменатель на (4 – √7):
r = (3√3(4 – √7)) / (2(16 – 7)) = (3√3(4 – √7)) / (2·9) = (√3(4 – √7))/6.
Таким образом, окончательный ответ: радиус вписанной окружности равен (√3(4 – √7))/6.
Үшбұрыштың қабырғалары берілген: 1, 3 және ( \sqrt{7} ). Сұрақ – осы үшбұрыштың ішкі шеңберінің (инциркуланың) радиусын табу.
Бірінші, үшбұрыштың ішкі шеңберінің радиусын табу формуласы:
( r = \dfrac{A}{s} ),
мұндағы ( A ) – үшбұрыштың ауданы, ал ( s ) – жарты периметр.
Ө алды ( s ) табамыз:
( s = \dfrac{a + b + c}{2} = \dfrac{1 + 3 + \sqrt{7}}{2} = \dfrac{4+\sqrt{7}}{2} ).
Келесі қадам – үшбұрыштың ауданын Герон формуласы бойынша табу:
( A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} ).
Есептейік:
( A = \sqrt{ \dfrac{4+\sqrt{7}}{2} \cdot \dfrac{4+\sqrt{7}-2}{2} \cdot \dfrac{4+\sqrt{7}-6}{2} \cdot \dfrac{4+\sqrt{7}-2\sqrt{7}}{2} } ).
Беру ретімен:
- ( s = \dfrac{4+\sqrt{7}}{2} ),
- ( s-1 = \dfrac{4+\sqrt{7}-2}{2} = \dfrac{2+\sqrt{7}}{2} ),
- ( s-3 = \dfrac{4+\sqrt{7}-6}{2} = \dfrac{\sqrt{7}-2}{2} ),
- ( s-\sqrt{7} = \dfrac{4+\sqrt{7}-2\sqrt{7}}{2} = \dfrac{4-\sqrt{7}}{2} ).
Осылайша:
( A = \sqrt{ \dfrac{(4+\sqrt{7})(2+\sqrt{7})(\sqrt{7}-2)(4-\sqrt{7})}{16} } ).
Бірнеше көбейтуді қарастырайық:
- Екі көбейтінді: ( (4+\sqrt{7})(4-\sqrt{7}) = 16-7 = 9 ),
- ( (2+\sqrt{7})(\sqrt{7}-2) ) – мұнда айқындалғандай:
( (2+\sqrt{7})(\sqrt{7}-2) = 2\sqrt{7} - 4 + 7 - 2\sqrt{7} = 3 ).
Сонда ішіндегі көбейтінді ( 9 \cdot 3 = 27 ). Демек,
( A = \sqrt{\dfrac{27}{16}} = \dfrac{3\sqrt{3}}{4} ).
Енді ішкі шеңбер радиусын табамыз:
( r = \dfrac{A}{s} = \dfrac{\dfrac{3\sqrt{3}}{4}}{\dfrac{4+\sqrt{7}}{2}} = \dfrac{3\sqrt{3}}{4} \cdot \dfrac{2}{4+\sqrt{7}} = \dfrac{6\sqrt{3}}{4(4+\sqrt{7})} = \dfrac{3\sqrt{3}}{2(4+\sqrt{7})} ).
Осы нәтижені иррационалды бөлшексіз жазу үшін, бөлгішті көбейтеміз:
( r = \dfrac{3\sqrt{3}}{2(4+\sqrt{7})} \cdot \dfrac{4-\sqrt{7}}{4-\sqrt{7}} = \dfrac{3\sqrt{3}(4-\sqrt{7})}{2(16-7)} = \dfrac{3\sqrt{3}(4-\sqrt{7})}{18} = \dfrac{\sqrt{3}(4-\sqrt{7})}{6} ).
Демек, үшбұрыштың ішкі шеңберінің радиусы:
( \boxed{r = \dfrac{\sqrt{3}(4-\sqrt{7})}{6}} ),
немесе, ашық жазсақ,
( r = \dfrac{4\sqrt{3} - \sqrt{21}}{6} ).
Жоғарыдағы қадамдарда:
• Үшбұрыштың жарты периметрі ( s = \dfrac{1+3+\sqrt{7}}{2} ) деп алынды.
• Герон формуласы арқылы аудан ( A = \dfrac{3\sqrt{3}}{4} ) тәуелділігі алынды.
• Соңында ( r = \dfrac{A}{s} ) формуласын қолдандық.
Нәтиже – үшбұрыштың ішкі шеңберінің радиусы ( \dfrac{\sqrt{3}(4-\sqrt{7})}{6} ).