Үшбұрыштың іштей сызылған шеңбер радиусын табыңыз: қабырғалары 1, 3, $ \sqrt{7} $.
Үшбұрыштың іштей сызылған шеңбер радиусын табыңыз: қабырғалары 1, 3, $ \sqrt{7} $.
Рассмотрим треугольник с сторонами a = 1, b = 3 и c = √7. Нужно найти радиус вписанной окружности. Радиус определяется формулой
r = A / s,
где A – площадь треугольника, а s – полупериметр, равный (a + b + c)/2.
Сначала находим полупериметр:
s = (1 + 3 + √7)/2 = (4 + √7)/2
Площадь треугольника можно найти по формуле Герона:
A = √[s(s - a)(s - b)(s - c)]
Вычислим каждое слагаемое:
s - a = (4 + √7)/2 - 1 = (4 + √7 - 2)/2 = (2 + √7)/2
s - b = (4 + √7)/2 - 3 = (4 + √7 - 6)/2 = (√7 - 2)/2
s - c = (4 + √7)/2 - √7 = (4 + √7 - 2√7)/2 = (4 - √7)/2
Подставляем в формулу Герона:
A = √{ [ (4+√7)/2 · (2+√7)/2 · (√7-2)/2 · (4-√7)/2 ] }
= √{ [ (4+√7)(2+√7)(√7-2)(4-√7) ] / 16 }
Заметим, что перемножив (4+√7) и (4-√7), получим:
(4+√7)(4-√7) = 4² - (√7)² = 16 - 7 = 9.
А также (2+√7) и (√7-2) перемножаются так:
(2+√7)(√7-2) = 2√7 - 4 + 7 - 2√7 = 3.
Таким образом, произведение под корнем равно:
(9 · 3) / 16 = 27/16
Поэтому площадь треугольника:
A = √(27/16) = (√27)/4 = (3√3)/4
Теперь находим радиус вписанной окружности:
r = A/s = [(3√3)/4] / [(4+√7)/2] = (3√3)/4 · 2/(4+√7) = (6√3)/(4(4+√7)) = (3√3)/(2(4+√7))
Для упрощения можно домножить числитель и знаменатель на (4-√7):
r = (3√3 · (4-√7)) / [2(4+√7)(4-√7)]
= (3√3 · (4-√7)) / [2(16 - 7)]
= (3√3 · (4-√7)) / (2×9)
= (3√3 · (4-√7)) / 18
= (√3(4-√7)) / 6
Ответ: радиус вписанной окружности равен (√3(4-√7))/6.
Сіз берген үшбұрыштың қабырғалары: 1, 3 және ( \sqrt{7} ). Біз ішкі шеңбердің радиусын ( r ) табуымыз керек. Іштей сызылған шеңбер радиусы үшбұрыштың ауданы ( A ) мен жарты периметріне ( s ) қатынасымен анықталады:
( r = \frac{A}{s} ).
Алдымен, үшбұрыштың жарты периметрін табайық:
( s = \frac{1 + 3 + \sqrt{7}}{2} = \frac{4+\sqrt{7}}{2} ).
Содан соң, Герон формуласын қолданып, ауданды есептейміз:
( A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} ),
мұндағы ( a=1 ), ( b=3 ), ( c=\sqrt{7} ).
Есептеу реті:
- ( s - 1 = \frac{4+\sqrt{7}}{2} - 1 = \frac{2+\sqrt{7}}{2} ).
- ( s - 3 = \frac{4+\sqrt{7}}{2} - 3 = \frac{\sqrt{7}-2}{2} ).
- ( s - \sqrt{7} = \frac{4+\sqrt{7}}{2} - \sqrt{7} = \frac{4-\sqrt{7}}{2} ).
Осылайша, ауданды былай жаза аламыз:
( A = \sqrt{ \frac{4+\sqrt{7}}{2} \cdot \frac{2+\sqrt{7}}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}-2}{2} \cdot \frac{4-\sqrt{7}}{2} } = \sqrt{ \frac{(4+\sqrt{7})(2+\sqrt{7})(\sqrt{7}-2)(4-\sqrt{7})}{16} } ).
Енді бөлшектегі көбейтінділерді есептейміз:
• ( (2+\sqrt{7})(\sqrt{7}-2) = 2\sqrt{7} - 4 + 7 - 2\sqrt{7} = 3 ).
• ( (4+\sqrt{7})(4-\sqrt{7}) = 16 - 7 = 9 ).
Осылайша:
( A = \sqrt{\frac{9 \times 3}{16}} = \sqrt{\frac{27}{16}} = \frac{3\sqrt{3}}{4} ).
Іштей сызылған шеңбер радиусы:
( r = \frac{A}{s} = \frac{\frac{3\sqrt{3}}{4}}{\frac{4+\sqrt{7}}{2}} = \frac{3\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{2}{4+\sqrt{7}} = \frac{3\sqrt{3}}{2(4+\sqrt{7})} ).
Бұл жауапты кері рационалдап, мына түрде де жазуға болады:
( r = \frac{3\sqrt{3}}{2(4+\sqrt{7})} \cdot \frac{4-\sqrt{7}}{4-\sqrt{7}} = \frac{3\sqrt{3}(4-\sqrt{7})}{2(16-7)} = \frac{3\sqrt{3}(4-\sqrt{7})}{18} = \frac{\sqrt{3}(4-\sqrt{7})}{6} ).
Демек, дұрыс жауап:
( r = \frac{3\sqrt{3}}{2(4+\sqrt{7})} ) немесе ( r = \frac{\sqrt{3}(4-\sqrt{7})}{6} ).