Үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбер радиусын тап: қабырғалары 1, 3, \sqrt{7}
Үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбер радиусын тап: қабырғалары 1, 3, \sqrt{7}
Задача сводится к нахождению радиуса описанной (вокруг треугольника) окружности, если известны стороны треугольника: 1, 3 и √7.
Первым делом необходимо найти площадь треугольника. Наш треугольник не является прямоугольным, поэтому используем формулу Герона.
Шаг 1. Вычисляем полупериметр p:
p = (1 + 3 + √7) / 2 = (4 + √7) / 2.
Шаг 2. Находим выражения p - a, p - b, p - c:
p - 1 = (4 + √7)/2 - 1 = (2 + √7)/2,
p - 3 = (4 + √7)/2 - 3 = (√7 - 2)/2,
p - √7 = (4 + √7)/2 - √7 = (4 - √7)/2.
Площадь A по формуле Герона:
A = √[p(p - 1)(p - 3)(p - √7)].
При перемножении каждого из выражений получим:
A = √[((4 + √7)(2 + √7)(√7 - 2)(4 - √7)) / 16].
Заметим, что:
(2 + √7)(√7 - 2) = (√7 + 2)(√7 - 2) = (√7)² - 2² = 7 - 4 = 3,
(4 + √7)(4 - √7) = 16 - 7 = 9.
Таким образом:
A = √[(9 × 3) / 16] = √(27/16) = (3√3)/4.
Шаг 3. Находим радиус описанной окружности R. Формула для описанного радиуса такова:
R = (a · b · c) / (4A).
Подставляем значения:
R = (1 × 3 × √7) / [4 × (3√3/4)] = (3√7) / (3√3) = √7/√3.
Можно записать в виде:
R = √(7/3).
Таким образом, радиус описанной окружности равен √(7/3).
Мәселе: Үшбұрыштың қабырғалары (1), (3) және (\sqrt{7}) берілген. Оларға сырттай сызылған шеңбердің радиусын табу керек.
Алдымен сырттай сызылған шеңбер радиусының формуласын еске түсірейік:
( R = \dfrac{abc}{4\Delta} ),
мұндағы (a), (b), (c) — үшбұрыштың қабырғалары, ал (\Delta) — үшбұрыштың ауданы.
Үшбұрыштың ауданын табу үшін Герон формуласы пайдаланылады:
( \Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} ),
мұндағы ( s = \dfrac{a+b+c}{2} ) — жарты периметр.
-
Жарты периметрді есептейміз:
( s = \dfrac{1 + 3 + \sqrt{7}}{2} = \dfrac{4 + \sqrt{7}}{2} ). -
(s) және қабырғалар айырмаларын табамыз:
( s - 1 = \dfrac{4 + \sqrt{7}}{2} - 1 = \dfrac{2 + \sqrt{7}}{2} ),
( s - 3 = \dfrac{4 + \sqrt{7}}{2} - 3 = \dfrac{\sqrt{7} - 2}{2} ),
( s - \sqrt{7} = \dfrac{4 + \sqrt{7}}{2} - \sqrt{7} = \dfrac{4 - \sqrt{7}}{2} ). -
Герон формуласы көмегімен ауданын табамыз:
[
\Delta = \sqrt{\dfrac{4 + \sqrt{7}}{2}\cdot \dfrac{2 + \sqrt{7}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{7} - 2}{2} \cdot \dfrac{4 - \sqrt{7}}{2}}
= \sqrt{\dfrac{(4+\sqrt{7})(2+\sqrt{7})(\sqrt{7}-2)(4-\sqrt{7})}{16}}.
]
Observing that ((2+\sqrt{7})(\sqrt{7}-2)= 7-4 = 3) және ((4+\sqrt{7})(4-\sqrt{7})= 16-7=9), онда:
[
\Delta = \sqrt{\dfrac{3 \cdot 9}{16}} = \sqrt{\dfrac{27}{16}} = \dfrac{3\sqrt{3}}{4}.
] -
Енді радиусты табамыз:
( a = 1), (b = 3), (c = \sqrt{7}) болғандықтан, олардың көбейтіндісі:
( a \cdot b \cdot c = 1 \cdot 3 \cdot \sqrt{7} = 3\sqrt{7} ).
Сырттай шеңбер радиусын алу формуласы:
[
R = \dfrac{3\sqrt{7}}{4\Delta} = \dfrac{3\sqrt{7}}{4\cdot \frac{3\sqrt{3}}{4}} = \dfrac{3\sqrt{7}}{3\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}.
]
Рационалдандырсақ:
[
R = \dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{7 \cdot 3}}{3} = \dfrac{\sqrt{21}}{3}.
]
Қорытынды: Үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбердің радиусы ( \dfrac{\sqrt{21}}{3} ).