Үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбер радиусы: қабырғалары 1, 3, $ \sqrt{7} $.
Үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбер радиусы: қабырғалары 1, 3, $ \sqrt{7} $.
В задаче нужно найти радиус описанной окружности треугольника с длинами сторон 1, 3 и √7. Приведём подробное решение.
Обозначим стороны треугольника как a = 1, b = 3, c = √7.
Сначала найдём площадь треугольника по формуле Герона. Полупериметр равен
p = (a + b + c)/2 = (1 + 3 + √7)/2 = (4 + √7)/2.
Вычисляем выражения под корнем:
p – a = (4 + √7 – 2)/2 = (2 + √7)/2,
p – b = (4 + √7 – 6)/2 = (√7 – 2)/2,
p – c = (4 + √7 – 2√7)/2 = (4 – √7)/2.
Таким образом, площадь:
S = √[p(p – a)(p – b)(p – c)] = √[((4 + √7)(2 + √7)(√7 – 2)(4 – √7))/16].
Заметим, что (2 + √7)(√7 – 2) = (√7 + 2)(√7 – 2) = 7 – 4 = 3, а (4 + √7)(4 – √7) = 16 – 7 = 9.
Получаем:
S = √(9 · 3/16) = √(27/16) = (3√3)/4.
Теперь применим формулу для радиуса описанной окружности:
R = (a · b · c)/(4S).
Подставляем значения:
R = (1 · 3 · √7)/(4 · (3√3)/4) = (3√7)/(3√3) = √7/√3 = √(7/3).
Ответ: радиус описанной окружности равен √(7/3).
Мәселе: қабырғалары 1, 3 және √7 болатын үшбұрышқа сырттай (ішкі) сызылған шеңбердің радиусын табу керек.
Алдымен үшбұрыштың шеңберге жанасатын — яғни ішкі шеңбердің — радиусын табу формуласы:
r = A/s,
мұндағы A – үшбұрыштың ауданы, ал s – жарты периметр.
-
Жарты периметрді (s) табамыз:
s = (1 + 3 + √7) / 2 = (4 + √7) / 2. -
Үшбұрыштың ауданын Heron формуласымен есептейміз:
A = √[s(s – a)(s – b)(s – c)],
мұндағы a = 1, b = 3, c = √7.
Алдымен әрбір айырманы шығарамыз:
s – a = (4 + √7)/2 – 1 = (2 + √7)/2,
s – b = (4 + √7)/2 – 3 = (√7 – 2)/2,
s – c = (4 + √7)/2 – √7 = (4 – √7)/2.
Сонымен, формулада орнына қойсақ:
A = √[ (4+√7)/2 · (2+√7)/2 · (√7-2)/2 · (4-√7)/2 ].
Барлық көбейтіндіні 16-ға бөлінеді, яғни:
A = √[ ((4+√7)(2+√7)(√7-2)(4-√7)) / 16 ].
Енді жай көбейтіндіні топтаймыз:
(2+√7)(√7−2) = (√7+2)(√7−2) = ( (√7)² – 2² ) = 7 − 4 = 3,
(4+√7)(4−√7) = 16 − 7 = 9.
Яғни, алдымызда:
A = √(9×3/16) = √(27/16) = (3√3)/4.
- Соңында, радиусты табамыз:
r = A/s = (3√3/4) / ((4+√7)/2) = (3√3/4) × (2/(4+√7)) = (3√3)/(2(4+√7)).
Осылайша, үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбердің радиусы
r = (3√3) / [2(4+√7)].
Үшбұрыштың қабырғалары 1, 3 және ( \sqrt{7} ) берілген жағдайда, сырттай сызылған шеңбер – яғни үшбұрыштың шеңберіне шертетін барлық төбелер арқылы өтетін шеңбердің радиусын табуымыз керек.
Алдымен үшбұрыштың сырттай шеңбер радиусы ( R ) мына формула бойынша есептеледі:
( R = \dfrac{abc}{4A} ),
мұндағы ( a ), ( b ), ( c ) – қабырғалар ұзындығы және ( A ) – үшбұрыштың ауданы.
- Үшбұрыштың ауданы ( A ) үшін Герон формуласын қолданамыз.
Алдымен жарты периметрді ( ( s ) ) табамыз:
[ s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{1+3+\sqrt{7}}{2} = \frac{4+\sqrt{7}}{2} ]
Герон формуласы:
[ A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} ]
сәйкес келесі айнымалылар:
- ( s-a = \frac{4+\sqrt{7}}{2} - 1 = \frac{2+\sqrt{7}}{2} )
- ( s-b = \frac{4+\sqrt{7}}{2} - 3 = \frac{\sqrt{7}-2}{2} )
- ( s-c = \frac{4+\sqrt{7}}{2} - \sqrt{7} = \frac{4-\sqrt{7}}{2} )
Осылайша:
[
A = \sqrt{ \frac{4+\sqrt{7}}{2} \cdot \frac{2+\sqrt{7}}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}-2}{2} \cdot \frac{4-\sqrt{7}}{2} }
= \sqrt{ \frac{(4+\sqrt{7})(2+\sqrt{7})(\sqrt{7}-2)(4-\sqrt{7})}{16} }.
]
- Енді көбейткіштерді топтастырайық.
Назар аударсақ, көбейтінділерді жұптап есептеуге болады:
- ( (2+\sqrt{7})(\sqrt{7}-2) ) көбейтіндісі:
( (2+\sqrt{7})(\sqrt{7}-2) = (\sqrt{7})^2 - 2^2 = 7 - 4 = 3 ). - ( (4+\sqrt{7})(4-\sqrt{7}) = 4^2 - (\sqrt{7})^2 = 16 - 7 = 9 ).
Осылайша, бөлгіштің ішінде:
[
A = \sqrt{ \frac{9 \cdot 3}{16} } = \sqrt{ \frac{27}{16} } = \frac{3\sqrt{3}}{4}.
]
-
Енді сырттай сызылған шеңбер радиусын ( R ) есептейміз:
( a = 1 ), ( b = 3 ), ( c = \sqrt{7} ) болғандықтан:
[
R = \frac{1 \cdot 3 \cdot \sqrt{7}}{4 \cdot \frac{3\sqrt{3}}{4}}
= \frac{3\sqrt{7}}{3\sqrt{3}}
= \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}.
] -
Мұны ыңғайлырақ түрде жазу үшін, бөлшекті қарапайым қылып:
[
\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{7}{3}} = \frac{\sqrt{21}}{3}.
]
Қорытындылай келе, үшбұрыштың сырттай сызылған шеңбер радиусы:
[
R = \frac{\sqrt{21}}{3}.
]
Бұл есептеудің әрбір қадамын түсінген болсаң, үшбұрыштың сырттай сызылған шеңбер радиусын қалай табуға болатыны жайлы толық түсінік алды деп сенемін. Егер қосымша сұрақтарың болса, еркін сұра.