Үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбер радиусы: қабырғалары 1, 3, √7
Үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбер радиусы: қабырғалары 1, 3, √7
Рассмотрим треугольник со сторонами a = 1, b = 3, c = √7. Нам нужно найти радиус описанной окружности (R), который вычисляется по формуле
R = (a · b · c) / (4 Δ),
где Δ – площадь треугольника.
Сначала найдём площадь треугольника с помощью формулы Герона. Полупериметр равен
s = (a + b + c) / 2 = (1 + 3 + √7) / 2 = (4 + √7) / 2.
Вычислим выражения s – a, s – b и s – c:
s – a = (4 + √7)/2 – 1 = (2 + √7)/2,
s – b = (4 + √7)/2 – 3 = (√7 – 2)/2,
s – c = (4 + √7)/2 – √7 = (4 – √7)/2.
По формуле Герона:
Δ = √[s · (s – a) · (s – b) · (s – c)]
= √{((4 + √7)/2) · ((2 + √7)/2) · ((√7 – 2)/2) · ((4 – √7)/2)}
= (1/4) √[(4 + √7)(2 + √7)(√7 – 2)(4 – √7)].
Обратим внимание, что (2 + √7)(√7 – 2) = (√7 + 2)(√7 – 2) = 7 – 4 = 3, а (4 + √7)(4 – √7) = 16 – 7 = 9. Таким образом, под корнем получаем 9 · 3 = 27, и
Δ = (1/4)√27 = (1/4)·(3√3) = 3√3/4.
Теперь вычисляем радиус описанной окружности:
R = (a · b · c) / (4 Δ) = (1 · 3 · √7) / (4 · (3√3/4)) = (3√7) / (3√3) = √7/√3 = √(7/3).
Таким образом, радиус описанной окружности данного треугольника равен √(7/3).
Үшбұрыштың қабырғалары a = 1, b = 3, c = √7 болған жағдайды қарастырайық. Сырттай сызылған шеңбердің радиусы R мынандай формула бойынша табылады:
R = (a · b · c) / (4Δ),
мұндағы Δ — үшбұрыштың ауданы.
Алдымен Δ-ны Герон формуласымен табамыз. Үшбұрыштың жарты периметрі:
s = (a + b + c) / 2 = (1 + 3 + √7) / 2 = (4 + √7) / 2.
Герон формуласында:
Δ = √[s(s – a)(s – b)(s – c)].
Есептейік:
s – a = ((4 + √7) – 2) / 2 = (3 + √7) / 2,
s – b = ((4 + √7) – 6) / 2 = (√7 + 1) / 2,
s – c = ((4 + √7) – 2√7) / 2 = (4 – √7) / 2.
Осыны көбейтеміз:
Δ = √[((4 + √7)(3 + √7)(1 + √7)(4 – √7)) / 16].
Көбейту ұтымды түрде жүргізейік. Алдымен (4 + √7) мен (4 – √7) көбейтіндісін қарастырайық:
(4 + √7)(4 – √7) = 16 – 7 = 9.
Содан кейін қалған екі көбейтінді:
(3 + √7)(1 + √7) = 3 + 3√7 + √7 + 7 = 10 + 4√7.
Осылайша:
Δ = √[9 · (10 + 4√7) / 16] = (1/4)·√[9(10 + 4√7)] = (3√(10 + 4√7)) / 4.
Енді R табу үшін:
R = (a · b · c) / (4Δ) = (1·3·√7) / [4·(3√(10 + 4√7)/4)] = (3√7) / (3√(10 + 4√7)) = √7 / √(10 + 4√7).
Былайша қысқартсақ, қорытынды:
Үшбұрыштың сырттай сызылған шеңбер радиусы
R = √7 / √(10 + 4√7).
Бұл жауапты алу үшін қолданған қағидалар:
• Шеңбердің радиусы: R = (abc)/(4Δ);
• Үшбұрыш ауданы Герон формуласы арқылы: Δ = √[s(s–a)(s–b)(s–c)];
• Алгебралық ықшамдау мен көбейтінділерді топтастыру.
Егер сұрақтар туындаса, не қате табылса, қуана талқылауға дайынмын!