Үш шардың радиуысы 3 см, 4 см, 5 см. Көлемі осы шардың көлемдерінің арифметикалық ортасына тең болатын шардың радиуысы неге тең?
Үш шардың радиуысы 3 см, 4 см, 5 см. Көлемі осы шардың көлемдерінің арифметикалық ортасына тең болатын шардың радиуысы неге тең?
Бірінші қадам – берілген үш шардың әрқайсысының көлемін табу. Шардың көлемі былай есептеледі:
V = (4/3)·π·r³.
3 см радиусы бар шардың көлемі:
V₁ = (4/3)·π·(3³) = (4/3)·π·27 = 36π.
4 см радиусы бар шардың көлемі:
V₂ = (4/3)·π·(4³) = (4/3)·π·64 = (256/3)π.
5 см радиусы бар шардың көлемі:
V₃ = (4/3)·π·(5³) = (4/3)·π·125 = (500/3)π.
Келесі қадам – осы көлемдердің арифметикалық ортасын табу:
Орташа көлем = (V₁ + V₂ + V₃) / 3
= [36π + (256/3)π + (500/3)π] / 3
Алдымен π коэффициентін шығарып алайық:
= π·[36 + 256/3 + 500/3] / 3
36-ны да үшке айналдырып жазсақ: 36 = 108/3, сонда:
= π·[(108 + 256 + 500) / 3] / 3
= π·(864/3) / 3 = π·288/3 = 96π.
Осыдан кейін, орташа көлемі 96π болған шардың радиусын табамыз. Шар көлемі формула бойынша:
(4/3)·π·r³ = 96π.
π және 4/3 коэффициентін ескеріп, теңдеуді қайта құрамыз:
r³ = (96π · 3) / (4π) = (288) / 4 = 72.
Яғни, r³ = 72, сол себепті:
r = ∛72 = ∛(8·9) = 2∛9.
Демек, көлемі осы шардың көлемдерінің арифметикалық ортасына тең болатын шардың радиусы 2∛9 см.
Рассмотрим задачу поэтапно. Сначала вычислим объёмы трёх данных шаров. Объём шара с радиусом r определяется формулой
V = (4/3)·π·r³.
Для первого шара (r = 3 см):
V₁ = (4/3)·π·3³ = (4/3)·π·27 = 36π.
Для второго шара (r = 4 см):
V₂ = (4/3)·π·4³ = (4/3)·π·64 = (256π)/3.
Для третьего шара (r = 5 см):
V₃ = (4/3)·π·5³ = (4/3)·π·125 = (500π)/3.
Чтобы найти объём шара, равный арифметическому среднему объёмов, сначала найдём сумму объёмов. Чтобы сложить числа удобно, приведём 36π к знаменателю 3:
36π = (108π)/3.
Тогда сумма объёмов:
V₁ + V₂ + V₃ = (108π + 256π + 500π)/3 = (864π)/3 = 288π.
Арифметическое среднее объёмов:
Vₑ = (V₁ + V₂ + V₃) / 3 = (288π) / 3 = 96π.
Теперь нужно найти радиус R такого шара, объём которого равен 96π, то есть он удовлетворяет уравнению:
(4/3)·π·R³ = 96π.
Сократим обе части на π:
(4/3)·R³ = 96.
Чтобы найти R³, домножим обе части уравнения на 3/4:
R³ = 96 · (3/4) = 72.
Таким образом, R = ³√72. Заметим, что 72 = 8·9, поэтому можно записать:
R = ³√(8·9) = ³√8 · ³√9 = 2·³√9.
Таким образом, радиус искомого шара равен 2·³√9 см (примерно 4,16 см).