Сандық тізбектің рекурренттік формуласын жазыңыз: $ x_{n+1} = 3 - x_n $, $ x_1 = 1 $.
Сандық тізбектің рекурренттік формуласын жазыңыз: $ x_{n+1} = 3 - x_n $, $ x_1 = 1 $.
Берілген тапсырмада сандық тізбек былай анықталған: бастапқы мəні (x_1 = 1), ал келесі мəндер рекурренттік қатынас бойынша есептеледі:
[
x_{n+1} = 3 - x_n \quad (n \ge 1)
]
Яғни, тізбектің бірінші саны (1), ал әрбір келесі сан алдыңғы саннан (3)-ті шегеру арқылы табылады.
Назар аударуға тұрарлық:
• (x_1 = 1) болғандықтан, (x_2 = 3 - 1 = 2).
• Кейін (x_3 = 3 - x_2 = 3 - 2 = 1),
• Соңынан (x_4 = 3 - x_3 = 3 - 1 = 2),
осылайша тізбек (1, 2, 1, 2, \dots) ретімен қайталана беретіндігі байқалады.
Осылайша, тапсырмадағы рекурренттік формула былай жазылады:
[
\boxed{x_1 = 1, \quad x_{n+1} = 3 - x_n \quad (n \ge 1)}
]
Итак, у нас есть последовательность, заданная рекуррентной формулой xₙ₊₁ = 3 – xₙ с начальным значением x₁ = 1. Первоначально полезно проследить несколько членов последовательности, чтобы увидеть закономерность:
При n = 1:
x₁ = 1
При n = 2:
x₂ = 3 – x₁ = 3 – 1 = 2
При n = 3:
x₃ = 3 – x₂ = 3 – 2 = 1
При n = 4:
x₄ = 3 – x₃ = 3 – 1 = 2
Мы видим, что последовательность чередуется: 1, 2, 1, 2, …
То есть она имеет период 2.
Чтобы записать её в виде явной формулы, можно воспользоваться степенью (-1). Можно заметить, что для нечётных n xₙ = 1, а для чётных n xₙ = 2. Это можно описать выражением:
xₙ = (3 + (-1)ⁿ) / 2
Проверим:
Для n = 1: (3 + (-1)¹)/2 = (3 – 1)/2 = 1
Для n = 2: (3 + (-1)²)/2 = (3 + 1)/2 = 2
Для n = 3: (3 + (-1)³)/2 = (3 – 1)/2 = 1
Таким образом, верной записью рекуррентной формулы с начальным условием является именно исходное задание xₙ₊₁ = 3 – xₙ, x₁ = 1, а явное выражение для общего члена последовательности выглядит так:
xₙ = (3 + (-1)ⁿ) / 2
Если требуется именно записать рекуррентную формулу, то это просто:
x₁ = 1
xₙ₊₁ = 3 – xₙ
А если нужно также получить явное выражение, то используем приведённую выше формулу.