Сандық тізбектің рекурренттік формуласын жазыңыз: x_{n+1} = 3 - x_n, x_1 = 1
Сандық тізбектің рекурренттік формуласын жазыңыз: x_{n+1} = 3 - x_n, x_1 = 1
Рассмотрим последовательность, заданную рекуррентным соотношением
xₙ₊₁ = 3 - xₙ
с начальным условием x₁ = 1.
Проверим, как ведёт себя последовательность:
При n = 1: x₁ = 1.
При n = 2: x₂ = 3 - x₁ = 3 - 1 = 2.
При n = 3: x₃ = 3 - x₂ = 3 - 2 = 1.
При n = 4: x₄ = 3 - x₃ = 3 - 1 = 2.
Таким образом, последовательность чередуется: 1, 2, 1, 2, …
Рекуррентное соотношение в условии уже является её определяющей формулой.
Если требуется найти явную формулу, то можно заметить, что последовательность периодическая с периодом 2. Явное выражение можно записать так:
xₙ = (3 + (–1)ⁿ)⁄2.
Проверим:
Для n = 1: x₁ = (3 + (–1)¹)⁄2 = (3 – 1)⁄2 = 1.
Для n = 2: x₂ = (3 + (–1)²)⁄2 = (3 + 1)⁄2 = 2.
Таким образом, верны оба описания: рекуррентное соотношение xₙ₊₁ = 3 − xₙ с x₁ = 1, а также явное выражение xₙ = (3 + (–1)ⁿ)/2.
Если задание требовало именно рекуррентную формулу, ответ:
xₙ₊₁ = 3 − xₙ, x₁ = 1.
Если же хотите добавить и явное решение, то дополнительно:
xₙ = (3 + (–1)ⁿ)⁄2.
Тапсырмада берілген рекурренттік байланыс бойынша, тізбектің бірінші мүшесі x₁ = 1 және әрбір келесі мүше келесі формуламен анықталады:
xₙ₊₁ = 3 − xₙ
Бірінші бірнеше мүшені есептесек:
• x₁ = 1
• x₂ = 3 − x₁ = 3 − 1 = 2
• x₃ = 3 − x₂ = 3 − 2 = 1
• x₄ = 3 − x₃ = 3 − 1 = 2
Көріп тұрғанымыздай, тізбек екілік кезеңді (периодты) – 1 және 2 мүше аралығында әрекет етеді. Яғни:
• тақ n индексі үшін xₙ = 1
• жұп n индексі үшін xₙ = 2
Егер тізбектің жалпы мүшесі үшін жабық формуланы табу керек болса, (-1) дің дәрежесін қолдану арқылы келесі нәтиже алуға болады:
xₙ = (3 + (–1)ⁿ) / 2
Осы формуланы тексерейік:
• n = 1: (3 + (–1)¹) / 2 = (3 – 1) / 2 = 1
• n = 2: (3 + (–1)²) / 2 = (3 + 1) / 2 = 2
Осылайша, берілген рекурренттік байланысқа сай тізбектің жалпы мүшесі былай жазылады:
xₙ = (3 + (–1)ⁿ) / 2
Демек, дұрыс жауап: xₙ = (3 + (–1)ⁿ) / 2.