Ромб АВСD бұрыш \angle A = 60^\circ, қабырғасы 4 см. АЕ түзуі ромб жазықтығына перпендикуляр. Е нүктесінен DC түзуіне дейін 4 см. Е нүктесінен ромб жазықтығына дейін қашықтықты табыңыз.
Ромб АВСD бұрыш \angle A = 60^\circ, қабырғасы 4 см. АЕ түзуі ромб жазықтығына перпендикуляр. Е нүктесінен DC түзуіне дейін 4 см. Е нүктесінен ромб жазықтығына дейін қашықтықты табыңыз.
Мәселе: Ромб АВСD бұрышы 60° және қабырғасы 4 см болғанда, АЕ түзуі ромб жазықтығына перпендикуляр, яғни А нүктесі – жазықтыққа түсетін тік төсеніштің табылу нүктесі. Сонымен қатар, Е нүктесінен DC түзуіне дейінгі қашықтық 4 см екені айтылған, мұнда Е-ден DC-ға дейінгі шын қашықтық – тік қашықтықтың (ромб жазықтығынан) және жазықтық ішіндегі проекциясының (А нүктесінен DC түзуіне дейінгі) квадраттарының қосындысының квадрат түбірі түрінде есептеледі.
Біз былайша есептейміз:
Ең алдымен, координаталық жүйеде ромбтың нүктелерін орналастырайық. A нүктесін (0,0) деп аламыз.
Енді параллелограммдық қасиетке сәйкес, C = B + (D – A) = (4,0) + (2,2√3) = (6,2√3).
Талдамалы түрде қарасақ, DC түзулері D және C нүктелерінен өтеді. Бұл түзудің теңдеуі: y = 2√3 (нақтылай айтқанда, D = (2,2√3) және C = (6,2√3) нүктелерінен өткендіктен түзудің барлық нүктелерінің y координаты 2√3).
Ромбтың жазықтығына перпендикуляр АЕ түзуі арқылы Е нүктесінің жазықтықтағы проекциясы – A нүктесі болады, яғни Е-ден жазықтыққа дейінгі қашықтықты h деп белгілесек, A = (0,0).
Е нүктесінен DC түзуіне дейінгі берілген қашықтық 4 см деп көрсетілген. Бірақ бұл қашықтық үшөлшемді қашықтық және Пифагор теоремасы арқылы табылады:
√[(А-дан DC түзуліне дейін қашықтық)^2 + h^2] = 4.
Мұндағы, жазықтықта А нүктесінен DC түзуліне дейінгі қашықтықты табайық. DC түзуі y = 2√3, ал A = (0,0) болғандықтан, бұл қашықтық |0 - 2√3| = 2√3 см.
Енді теңдеуіміз:
√[(2√3)^2 + h^2] = 4.
(2√3)^2 = 4×3 = 12, сондықтан:
√(12 + h^2) = 4.
Екі жақты квадратқа аламыз:
12 + h^2 = 16 → h^2 = 4 → h = 2 (бұл жерде h оң, қашықтық теріс болмайды).
Қорытындылай келе, Е нүктесінен ромб жазықтығына дейінгі қашықтық 2 см болады.
В данной задаче у нас ромб ABCD с вершиной A, где угол ∠A = 60° и все стороны равны 4 см. Прямая AE проходит через A и перпендикулярна плоскости ромба. Из точки E расстояние до прямой DC равно 4 см. Необходимо найти расстояние от точки E до плоскости ромба, то есть длину AE.
Чтобы найти AE, нужно рассмотреть следующую ситуацию. Поскольку E принадлежит прямой, перпендикулярной плоскости ромба, его ортогональная проекция на плоскость – это точка A. А минимальное расстояние от точки E до прямой DC будет достигаться вдоль перпендикуляра к DC, опущенного из точки E. При этом в плоскости ромба расстояние от A до DC мы можем найти, так как A – вершина ромба.
Для наглядности можно ввести координаты таким образом: положим A в начале координат (0, 0). Пусть сторона AD направлена вдоль оси x, тогда D = (4, 0). Так как ∠A = 60°, сторона AB направлена под 60° к оси x, поэтому B = (4 cos60°, 4 sin60°) = (2, 2√3). Тогда, поскольку ромб, вершина C будет равна C = D + (B – A) = (4, 0) + (2, 2√3) = (6, 2√3). Прямая DC проходит через точки D(4, 0) и C(6, 2√3). Найдём расстояние от A до прямой DC.
Определим уравнение прямой DC. Найдём её наклон:
наклон = (2√3 – 0) / (6 – 4) = √3.
Уравнение через D имеет вид:
y = √3 (x – 4),
что можно переписать в виде:
√3 x – y – 4√3 = 0.
Расстояние от точки A(0, 0) до этой прямой вычисляется по формуле:
d = |√3·0 – 0 – 4√3| / √( (√3)² + (–1)² ) = 4√3 / √(3 + 1) = 4√3/2 = 2√3 см.
Теперь рассмотрим треугольник, образованный точками E, A и точкой H – наименьшей точкой на прямой DC, к которой проведён перпендикуляр из E. Заметим, что A – проекция E на плоскость ромба, а расстояние от A до прямой DC равно 2√3 см. Поскольку прямая AE перпендикулярна плоскости ромба, треугольник EAH прямоугольный с прямым углом в A. Тогда расстояние от E до прямой DC (EH) определяется по теореме Пифагора:
EH² = EA² + AH²,
где EH = 4 см, а AH = 2√3 см.
Подставляем:
4² = EA² + (2√3)²,
16 = EA² + 4·3,
16 = EA² + 12.
Отсюда EA² = 16 – 12 = 4, откуда EA = 2 см.
Таким образом, расстояние от точки E до плоскости ромба равно 2 см.