Өрнекті ықшамдаңыз: \sqrt{1 + \tan^2 α} + \sqrt{1 + \cot^2 α}
Өрнекті ықшамдаңыз: \sqrt{1 + \tan^2 α} + \sqrt{1 + \cot^2 α}
Выражение, которое требуется упростить, выглядит так:
√(1 + tan²α) + √(1 + cot²α).
Заметим, что существуют фундаментальные тригонометрические тождества:
1 + tan²α = sec²α
1 + cot²α = csc²α.
Подставляем их в выражение, получаем:
√(sec²α) + √(csc²α).
При извлечении квадратного корня из квадрата получаем абсолютные значения:
|sec α| + |csc α|.
Таким образом, в общем виде ответ будет:
|sec α| + |csc α|.
Если известно, что угол α лежит в первой четверти (от 0 до π/2), где и sec α, и csc α положительны, модули можно опустить, и ответ будет:
sec α + csc α.
Таким образом, окончательный ответ зависит от области определения α.
Берілген өрнек:
√(1 + tan²α) + √(1 + cot²α)
Мұнда trigonometrиялық теңдеудің негізгі сәйкестіктері қолданылады. Бастапқыда жаттық болатын формулаларды еске алайық:
1 + tan²α = sec²α және 1 + cot²α = csc²α
Сонымен өрнек былай өзгертіледі:
√(sec²α) + √(csc²α)
Шаманың квадрат түбірі алынғанда, нәтижесінде әрқашан абсолютті мән шығады. Яғни:
√(sec²α) = |secα| және √(csc²α) = |cscα|
Осылайша ықшамдалған өрнек нәтижесі:
|secα| + |cscα|
Егер нақты шарттар (α бұрышының аймағы) белгілі болса, абсолюттік белгілерді алып тастауға болады; әйтпесе, жалпы формада осылай жазу керек.
Сондықтан дұрыс жауап:
|secα| + |cscα|