Өрнекті ықшамдаңыз: \sqrt{1 + \sin α} - \sqrt{1 - \sin α}
Өрнекті ықшамдаңыз: \sqrt{1 + \sin α} - \sqrt{1 - \sin α}
Бұл сұрақта берілген өрнекті ықшамдау керек:
√(1 + sin α) – √(1 – sin α).
Мысалы, өспелі әдісті қолдансақ, алдымен √(1 + sin α) мен √(1 – sin α) өрнектерін былай қайта жазуға болады. Екі өрнекте де пайда болатын 1 + sin α және 1 – sin α сандық қатынасты жарты бұрыштық тригонометриялық қатынастар арқылы былай көрсетуге болады:
√(1 + sin α) = √2 · cos(π/4 – α/2),
√(1 – sin α) = √2 · cos(π/4 + α/2).
Осылайша, бастапқы өрнек былай көрінеді:
√2 [cos(π/4 – α/2) – cos(π/4 + α/2)].
Енді екі косинустың айырмасын косинустарға қатысты айырма формуласы арқылы ықшамдаймыз. Ескеретін негізгі формула:
cos A – cos B = –2 sin((A+B)/2) sin((A–B)/2).
Мұндағы A = π/4 – α/2, B = π/4 + α/2 болған жағдайда:
(A + B)/2 = ( (π/4 – α/2) + (π/4 + α/2) )/2 = (π/2)/2 = π/4,
(A – B)/2 = ( (π/4 – α/2) – (π/4 + α/2) )/2 = (–α)/2 = –α/2.
Осылайша:
cos(π/4 – α/2) – cos(π/4 + α/2)
= –2 sin(π/4) sin(–α/2).
Ал sin(–α/2) = – sin(α/2), сондықтан
= –2 sin(π/4) (– sin(α/2)) = 2 sin(π/4) sin(α/2).
Біздікіне √2 коэффициентін ескерсек:
√2 · [cos(π/4 – α/2) – cos(π/4 + α/2)] = √2 · 2 sin(π/4) sin(α/2).
Енді sin(π/4) = √2/2 болғандықтан:
= √2 · 2 (√2/2) sin(α/2) = 2 sin(α/2).
Осылайша ықшамдалған өрнек:
√(1 + sin α) – √(1 – sin α) = 2 sin(α/2).
Бұл ықшамдау негізінде жарты бұрыштық тригонометриялық қатынастар мен косинустың айырмасы формуласын қолдандық. Барлық қадамдар анықталды және нәтижеде сұралған жауап: 2 sin(α/2) алынады.
Задание просит упростить выражение
√(1 + sin α) – √(1 – sin α).
Можно упростить выражение, используя замечательное равенство, связанное с половинными углами. Заметим, что
1 + sin α = (cos(α/2) + sin(α/2))²
1 – sin α = (cos(α/2) – sin(α/2))².
При положительных значениях cos(α/2) и sin(α/2) (к примеру, если α лежит в интервале [–π/2; π/2]) можно выписать:
√(1 + sin α) = cos(α/2) + sin(α/2),
√(1 – sin α) = cos(α/2) – sin(α/2).
Теперь, если вычесть второе выражение из первого, получим:
[cos(α/2) + sin(α/2)] – [cos(α/2) – sin(α/2)] = 2 sin(α/2).
Таким образом, исходное выражение упрощается до 2 sin(α/2).