Өрнекті ықшамдаңыз: \sqrt{1 - \sin^2\alpha} - \sqrt{1 - \cos^2\alpha}
Өрнекті ықшамдаңыз: \sqrt{1 - \sin^2\alpha} - \sqrt{1 - \cos^2\alpha}
Здесь данное выражение можно упростить, используя тригонометрическую тождество:
√(1 – sin²α) = |cosα|
√(1 – cos²α) = |sinα|
Это следует из соотношения sin²α + cos²α = 1, при котором √(1 – sin²α) = √(cos²α). Так как корень квадратный даёт неотрицательное значение, получается модуль.
Таким образом, исходное выражение
√(1 – sin²α) – √(1 – cos²α)
принимает вид
|cosα| – |sinα|.
Если не указывать дополнительные условия на α (например, что α находится в первой четверти, где синус и косинус неотрицательны), окончательным ответом остается именно такой вид с модулями.
Мынаны талқылайық: берілген өрнек – (\sqrt{1 - \sin^2\alpha} - \sqrt{1 - \cos^2\alpha}).
Біріншіден, тригонометриялық негіз болатынымызды еске алайық:
- (\sqrt{1 - \sin^2\alpha} = \sqrt{\cos^2\alpha} = |\cos\alpha|).
- (\sqrt{1 - \cos^2\alpha} = \sqrt{\sin^2\alpha} = |\sin\alpha|).
Демек, өрнек былай жазылады:
(|\cos\alpha| - |\sin\alpha|).
Қарапайым қорыту: берілген өрнекті ықшамдағанда, ол (|\cos\alpha| - |\sin\alpha|) түрінде шығады.
Егер (\alpha) бұрышының қандай да бір шектелген аймағында жұмыс істесек (мысалы, (0 \le \alpha \le \pi/2)), онда (\cos\alpha) мен (\sin\alpha) оң болады, сол себепті абсолюттік белгісіз қажет болмайды. Бірақ жалпы жағдайда, қайсы бұрыш болмасын, екі функцияның да мәндері әрқашан оң санға тең емес болғандықтан, абсолюттік белгілерді қолдану қажет.
Сенде түсінікті болды деп үміттенемін.