Өрнекті ықшамдаңыз: \sin(α + β) + \sin(α - β)
Өрнекті ықшамдаңыз: \sin(α + β) + \sin(α - β)
Сен сұраған сұрақ: sin(α + β) + sin(α - β) өрнегін ықшамдау керек. Мұнда біз тригонометриялық қосынды мен айырмашылықтың қосындысын ықшамдау формуласын қолданамыз.
Біз білеміз, егер:
A = α + β және B = α - β,
онда келесі формула қолданылады:
sin A + sin B = 2 sin[(A+B)/2] cos[(A-B)/2].
Осы өрнекте:
(A+B)/2 = [(α+β)+(α-β)]/2 = (2α)/2 = α,
(A-B)/2 = [(α+β)-(α-β)]/2 = (2β)/2 = β.
Сондықтан:
sin(α+β) + sin(α-β) = 2 sin(α) cos(β).
Нәтижесінде өрнектің ықшам түрі: 2 sin(α) cos(β).
Выразим задачу простыми словами: нужно сократить выражение
sin(α + β) + sin(α - β)
используя тригонометрические тождества.
Идентичность, которая здесь пригодится, выглядит так:
sin A + sin B = 2 sin((A+B)/2) cos((A−B)/2).
Подставим A = (α + β) и B = (α - β). Тогда получим:
(A + B)/2 = ((α + β) + (α - β)) / 2 = (2α) / 2 = α,
(A - B)/2 = ((α + β) - (α - β)) / 2 = (2β) / 2 = β.
Таким образом, исходное выражение принимает вид:
sin(α + β) + sin(α - β) = 2 sin α cos β.
Получается, окончательный ответ:
2 sin α cos β.