Өрнекті ықшамдаңыз: \sin α - \cos α
Өрнекті ықшамдаңыз: \sin α - \cos α
Бізге берілген өрнек – (\sin \alpha - \cos \alpha). Мұндағы мақсат – оны ықшам түрде жазу.
Бұндай түрлендіруде бір негізгі әдіс – бірге алынатын коэффициент пен бұрыштың ығысуын анықтау арқылы өрнекті жаңа тригонометриялық функция түрінде жазу. Әйтсек, кез келген өрнекті келесі түрде көрсетуге болады:
[
a \sin \alpha + b \cos \alpha = R \sin(\alpha + \varphi),
]
мұндағы
[
R = \sqrt{a^2 + b^2} \quad \text{және} \quad \varphi = \arctan\left(\frac{b}{a}\right).
]
Біздің жағдайда (a = 1) және (b = -1). Енді (R) табамыз:
[
R = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}.
]
[
\varphi = \arctan\left(\frac{-1}{1}\right) = -\frac{\pi}{4}.
]
Осыдан,
[
\sin \alpha - \cos \alpha = \sqrt{2}\sin\left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right).
]
Яғни, өрнекті ықшам түрде осылай жазуға болады.
Қорытындылай келе, дұрыс ықшамдалған өрнек:
[
\sqrt{2}\sin\left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right).
]
Мы можем записать данное выражение в виде одного тригонометрического выражения, используя формулу приведения для синуса разности углов.
Начнём с формулы:
sin(A – B) = sin A · cos B – cos A · sin B.
При выборе B = π/4 (45°) имеем:
sin(α – π/4) = sin α · cos(π/4) – cos α · sin(π/4).
Так как cos(π/4) = sin(π/4) = √2/2, это выражение примет вид:
sin(α – π/4) = (√2/2) sin α – (√2/2) cos α = (√2/2)(sin α – cos α).
Чтобы получить исходное выражение sin α – cos α, умножим обе стороны этого равенства на √2:
√2 · sin(α – π/4) = sin α – cos α.
Таким образом, окончательное сокращённое выражение имеет вид:
√2 · sin(α – π/4).