Өрнекті ықшамдаңыз: (\sin\alpha + \cos\alpha)^2 + (\sin\alpha - \cos\alpha)^2
Өрнекті ықшамдаңыз: (\sin\alpha + \cos\alpha)^2 + (\sin\alpha - \cos\alpha)^2
Рассмотрим данное выражение:
( sinα + cosα )² + ( sinα - cosα )²
Сначала раскроем скобки для каждой части.
Для (sinα + cosα)² получаем:
sin²α + 2sinα·cosα + cos²α
Для (sinα - cosα)² получаем:
sin²α - 2sinα·cosα + cos²α
Теперь сложим полученные выражения:
[sin²α + 2sinα·cosα + cos²α] + [sin²α - 2sinα·cosα + cos²α] =
(sin²α + sin²α) + (cos²α + cos²α) + (2sinα·cosα - 2sinα·cosα)
Заметим, что слагаемые 2sinα·cosα и -2sinα·cosα взаимно уничтожаются, а остальные складываются:
2sin²α + 2cos²α = 2(sin²α + cos²α)
По основному тождеству тригонометрии sin²α + cos²α = 1, получаем:
2 · 1 = 2
Таким образом, исходное выражение упрощается до 2.
Сізден берілген өрнек:
[
(\sin\alpha + \cos\alpha)^2 + (\sin\alpha - \cos\alpha)^2
]
өте айқын.
Бірінші қадамда әрбір жақшаны шаршыға көтереміз. Яғни, ((\sin\alpha + \cos\alpha)^2) өрнегін ашқанда:
(\sin^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha)
Ал ((\sin\alpha - \cos\alpha)^2) өрнегін ашқанда:
(\sin^2\alpha - 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha)
Енді екі өрнекті қосамыз:
[
(\sin^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha) + (\sin^2\alpha - 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha)
]
Негізгі сәт – мынандай: (+2\sin\alpha\cos\alpha) мен (-2\sin\alpha\cos\alpha) бір-бірін толықтай жояды. Қалған өрнек:
[
\sin^2\alpha + \sin^2\alpha + \cos^2\alpha + \cos^2\alpha = 2\sin^2\alpha + 2\cos^2\alpha
]
Одан кейін (2) санын ортақ шаршыдан шығарып аламыз:
[
2(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)
]
Мұнда ең басты тригонометриялық теңдік — Пифагор теоремасы:
[
\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1
]
Осылайша, өрнек ықшамдалып,
[
2 \cdot 1 = 2
]
деп шығады.
Демек, өрнектің ықшамдалған түрі – 2.