Өрнекті ықшамдаңыз: \sin(60° + α) - \sin(60° - α)
Өрнекті ықшамдаңыз: \sin(60° + α) - \sin(60° - α)
Мы можем начать с применения формулы для разности синусов:
sin A – sin B = 2 cos((A+B)/2) sin((A–B)/2).
Задаём A = 60° + α и B = 60° – α. Тогда получаем:
(A+B)/2 = (60°+α + 60°–α)/2 = (120°)/2 = 60°,
(A–B)/2 = ((60°+α) – (60°–α))/2 = (2α)/2 = α.
Подставляем в формулу:
sin(60°+α) – sin(60°–α) = 2 cos(60°) sinα.
Поскольку cos60° = 1/2, то
2 · (1/2) · sinα = sinα.
Ответ:
sin(60°+α) – sin(60°–α) = sinα.
Сұрақта берілген өрнекті ықшамдау қажет:
Өрнек: sin(60° + α) - sin(60° - α).
Бұны ықшамдау үшін келесі тригонометриялық қатынасты қолданамыз:
sin A - sin B = 2 cos((A + B) / 2) sin((A - B) / 2).
Мұнда A = 60° + α және B = 60° - α.
-
Есептейміз:
A + B = (60° + α) + (60° - α) = 120°,
A - B = (60° + α) - (60° - α) = 2α. -
Осылайша орташа шамаларды табамыз:
(A + B) / 2 = 120° / 2 = 60°,
(A - B) / 2 = 2α / 2 = α. -
Енді бастапқы өрнекті қайта жазсақ:
sin(60° + α) - sin(60° - α) = 2 cos(60°) sin(α). -
cos(60°) = 1/2 болғандықтан:
2 cos(60°) sin(α) = 2 × (1/2) × sin(α) = sin(α).
Қорытынды: Өрнек sin(α) тең болады.