Өрнекті ықшамдаңыз: \sin 2α + \cos 2α + \cot 5α
Өрнекті ықшамдаңыз: \sin 2α + \cos 2α + \cot 5α
Мы можем переписать первые два слагаемых, используя известное тождество для суммы синуса и косинуса. Напомним, что
sin x + cos x = √2 · sin(x + π/4).
В нашем случае x = 2α, поэтому
sin 2α + cos 2α = √2 · sin(2α + π/4).
При этом третьим слагаемым остаётся cot 5α, которое можно оставить без изменений или при желании записать как
cot 5α = cos 5α / sin 5α.
Таким образом, итоговое выражение в компактном виде можно записать как
√2 · sin(2α + π/4) + cot 5α.
Этого и достаточно для упрощения данного выражения.
Мұнда сізден берілген өрнекті ықшамдау сұралады: sin 2α + cos 2α + cot 5α.
Бірінші екі қосындыларды қарастырайық. sin 2α мен cos 2α қосындысын тригонометриялық сәйкес қатынастар арқылы ықшамдауға болады. Нақты айтқанда, келесі теңдеуді білеміз:
sin θ + cos θ = √2 sin(θ + π/4).
Осыны θ = 2α деп алмастыратын болсақ,
sin 2α + cos 2α = √2 sin(2α + π/4).
Осылайша өрнек келесідей жазылады:
√2 sin(2α + π/4) + cot 5α.
cot 5α - бұл 5α бұрышының котангенсі, әрі оның анықтамасы:
cot 5α = cos 5α / sin 5α.
Алайда, сол сатада бұл мүшені кәдімгі қосындылармен біріктіру мүмкін болмайды, өйткені олар әртүрлі бұрыштарды қамтиды және ортақ тригонометриялық функцияға келтіруге болмайды.
Қорытындылай келе, өрнекті ықшамдалған түрі:
√2 sin(2α + π/4) + cot 5α.
Бұл формада қосымша ықшамдау мүмкін емес, сондықтан осы жауап дұрыс.