Өрнекті ықшамдаңыз: \sin^2 α (1 + \cot^2 α)
Өрнекті ықшамдаңыз: \sin^2 α (1 + \cot^2 α)
Мы должны упростить выражение:
sin²α (1 + cot²α).
Для начала вспомним определение котангенса. По определению,
cotα = cosα/sinα,
откуда
cot²α = cos²α/sin²α.
Подставим это в выражение:
sin²α (1 + cos²α/sin²α).
Чтобы сложить 1 и cos²α/sin²α, запишем 1 как sin²α/sin²α, получим:
1 + cos²α/sin²α = (sin²α + cos²α)/sin²α.
Напомним фундаментальное тождество:
sin²α + cos²α = 1.
Тогда
(1)/sin²α.
Теперь наше выражение становится:
sin²α * (1/sin²α).
Сократим sin²α, получим окончательный ответ:
1.
Таким образом, упрощённое выражение равно 1.
Мұндай жоғарыда берілген өрнекті ықшамдау үшін үшгөріністер арасындағы белгілі бір байланыстарды қолдану қажет.
Бастапқы өрнек:
sin²α (1 + cot²α)
Біз білеміз, тригонометриялық тождество бойынша:
1 + cot²α = csc²α,
мұндағы cscα = 1/sinα.
Осыны өрнекке қойсақ:
sin²α · csc²α = sin²α · (1/sin²α).
Осыдан sin²α бөлінеді, қалған нәтиже:
1.
Демек, өрнекті ықшамдағандағы нәтиже 1.
Егер қандай сұрақ немесе түсінбеушілік болса, сұраңыз, бәрін нақты түсіндіруге дайынмын!