Өрнекті ықшамдаңыз: \$ \frac{\tan α + \cot α}{\sec α + \csc α} \$

Математика
1

Өрнекті ықшамдаңыз: $ \frac{\tan α + \cot α}{\sec α + \csc α} $

Өрнекті ықшамдаңыз: $ \frac{\tan α + \cot α}{\sec α + \csc α} $

2

Давайте разберём, как упростить выражение

( tanα + cotα )/( secα + cscα ).

Сначала перепишем все функции через sine и cosine:

tanα = sinα / cosα
cotα = cosα / sinα
secα = 1 / cosα
cscα = 1 / sinα

Таким образом, числитель становится:
tanα + cotα = sinα/cosα + cosα/sinα = (sin²α + cos²α) / (sinα cosα).

Поскольку sin²α + cos²α = 1, получим:
tanα + cotα = 1/(sinα cosα).

Теперь знаменатель:
secα + cscα = 1/cosα + 1/sinα = (sinα + cosα)/(sinα cosα).

Теперь имеем:

( tanα + cotα )/( secα + cscα ) = [1/(sinα cosα)] / [(sinα + cosα)/(sinα cosα)].

Деление на дробь равносильно умножению на её обратную:
= 1/(sinα cosα) * (sinα cosα)/(sinα + cosα).

Сокращаем sinα cosα, если они не равны нулю:
= 1/(sinα + cosα).

Итак, упрощённый вид выражения:

1/(sinα + cosα).

Таким образом, окончательный ответ: 1/(sinα + cosα).

3

Сұрақ: Берілген өрнекті ықшамдау:
(\frac{\tan \alpha + \cot \alpha}{\sec \alpha + \csc \alpha})

Енді өрнекті қалай ықшамдаймыз, қатарлап талдап көрейік:

• Алдымен негізгі тригонометриялық функцияларды синус пен косинус көмегімен жазайық:
(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}, \quad \cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}, \quad \sec \alpha = \frac{1}{\cos \alpha}, \quad \csc \alpha = \frac{1}{\sin \alpha}).

• Үстіңгі жақтағы бөлшекті ((\tan \alpha + \cot \alpha)) синустармен бірге жазсақ:
(\tan \alpha + \cot \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha}).
Біз білеміз, (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1), сондықтан:
(\tan \alpha + \cot \alpha = \frac{1}{\sin \alpha \cos \alpha}).

• Төменгі жақтағы бөлшекті ((\sec \alpha + \csc \alpha)) да синустар мен косинустар арқылы жазайық:
(\sec \alpha + \csc \alpha = \frac{1}{\cos \alpha} + \frac{1}{\sin \alpha} = \frac{\sin \alpha + \cos \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha}).

• Енді толық өрнек келесідей болады:
[
\frac{\tan \alpha + \cot \alpha}{\sec \alpha + \csc \alpha} = \frac{\frac{1}{\sin \alpha \cos \alpha}}{\frac{\sin \alpha + \cos \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha}}.
]

• Нақты бөлшектерді қысқартқанда (\sin \alpha \cos \alpha) көбейтіндісі жойылады, сондықтан:
[
\frac{1}{\sin \alpha + \cos \alpha}.
]

Қорытындылай келе, өрнектің ықшамдалған түрі:
(\boxed{\frac{1}{\sin \alpha + \cos \alpha}}).

Егер сұрақтарың болса, айта бер, түсіндіруге дайынмын!