Өрнекті ықшамдаңыз: \frac{\sin3α}{\sinα} - \frac{\cos3α}{\cosα}
Өрнекті ықшамдаңыз: \frac{\sin3α}{\sinα} - \frac{\cos3α}{\cosα}
Давайте упростим выражение
( sin 3α / sin α ) – ( cos 3α / cos α ).
Первым делом вспомним формулы тройного угла:
sin 3α = 3 sin α – 4 sin³ α,
cos 3α = 4 cos³ α – 3 cos α.
Подставляем их в выражение:
(3 sin α – 4 sin³ α) / sin α – (4 cos³ α – 3 cos α) / cos α.
Разбиваем дроби:
(3 sin α)/sin α – (4 sin³ α)/sin α – (4 cos³ α)/cos α + (3 cos α)/cos α.
Замечаем, что:
(3 sin α)/sin α = 3 (при sin α ≠ 0),
(4 sin³ α)/sin α = 4 sin² α,
(4 cos³ α)/cos α = 4 cos² α,
(3 cos α)/cos α = 3 (при cos α ≠ 0).
Тогда получаем:
3 – 4 sin² α – 4 cos² α + 3.
Сгруппируем константы:
(3 + 3) – 4(sin² α + cos² α) = 6 – 4(sin² α + cos² α).
Используем основное тригонометрическое тождество, что sin² α + cos² α = 1, тогда получаем:
6 – 4·1 = 6 – 4 = 2.
Таким образом, окончательный ответ: 2.
Мұндай өрнекті ықшамдау кезінде алдымен үшбұрыш тригонометриялық формулаларын қолданамыз.
Біріншіден, келесі формулаларды ұмытпайық:
• \sin3α = 3\sinα - 4\sin^3α
• \cos3α = 4\cos^3α - 3\cosα
Өрнекті жазсақ:
\frac{\sin3α}{\sinα} - \frac{\cos3α}{\cosα} = \frac{3\sinα - 4\sin^3α}{\sinα} - \frac{4\cos^3α - 3\cosα}{\cosα}
Әрбір бөлшекті бөлек ықшамдаймыз, шартпен \sinα \ne 0 және \cosα \ne 0 деп аламыз:
• \frac{3\sinα - 4\sin^3α}{\sinα} = 3 - 4\sin^2α
• \frac{4\cos^3α - 3\cosα}{\cosα} = 4\cos^2α - 3
Енді өрнек мына түрде болады:
(3 - 4\sin^2α) - (4\cos^2α - 3)
Ұқсас мүшелерді жинап аламыз:
3 - 4\sin^2α - 4\cos^2α + 3 = 6 - 4(\sin^2α + \cos^2α)
Енді \sin^2α + \cos^2α = 1 екенін біле тұра:
6 - 4\cdot1 = 2
Сонымен, өрнектің ықшамдалған түрі – 2.