Өрнекті ықшамдаңыз: \frac{\sin α + \sin 3α}{\cos α + \cos 3α}
Өрнекті ықшамдаңыз: \frac{\sin α + \sin 3α}{\cos α + \cos 3α}
Мы видим, что нужно упростить выражение: (sin α + sin 3α) / (cos α + cos 3α).
Для этого удобно воспользоваться формулами приведения суммы синусов и косинусов к произведению. Формулы выглядят так:
- sin A + sin B = 2 sin((A + B)/2) cos((A – B)/2)
- cos A + cos B = 2 cos((A + B)/2) cos((A – B)/2)
Применим их к числителю и знаменателю.
Числитель:
sin α + sin 3α
= 2 sin((α + 3α)/2) cos((α – 3α)/2)
= 2 sin(2α) cos(–α)
Так как cos(–α) = cos α, получаем:
= 2 sin 2α cos α.
Знаменатель:
cos α + cos 3α
= 2 cos((α + 3α)/2) cos((α – 3α)/2)
= 2 cos(2α) cos(–α)
Опять же, поскольку cos(–α) = cos α,
= 2 cos 2α cos α.
Теперь выражение принимает вид:
(2 sin 2α cos α) / (2 cos 2α cos α).
Сократим общий множитель 2 и cos α (при условии, что cos α ≠ 0):
= sin 2α / cos 2α
= tg 2α.
Таким образом, упрощённое выражение равно tg 2α.
Мәселенің мақсаты берілген тригонометриялық өрнекті ықшамдау. Бізге берілген өрнек:
( sin α + sin 3α ) / ( cos α + cos 3α )
Енді қадам бойынша қарастырайық.
• Алдымен, қосындыны көбейткішке айналдыру формулаларын қолданамыз:
- sin A + sin B = 2 sin((A+B)/2) cos((A–B)/2)
- cos A + cos B = 2 cos((A+B)/2) cos((A–B)/2)
• A мен B-ны сәйкесінше α және 3α деп аламыз:
– Нумераторда: sin α + sin 3α = 2 sin((α+3α)/2) cos((α–3α)/2)
= 2 sin(2α) cos(–α)
= 2 sin(2α) cos α (өйткені cos(–α)=cosα)
– Диноминаторда: cos α + cos 3α = 2 cos((α+3α)/2) cos((α–3α)/2)
= 2 cos(2α) cos(–α)
= 2 cos(2α) cos α
• Осыдан өрнек былай жазылады:
(2 sin 2α cos α) / (2 cos 2α cos α)
• Қарапайымдандыру нәтижесінде 2 және cosα бір-бірін қысқартады (егер cosα = 0 емес болса):
= sin 2α / cos 2α
= tan 2α
Қорытындылай келе, өрнектің ықшам түрі: tan 2α.