Өрнекті ықшамдаңыз: $ \frac{\sin α + \cos α}{\sin α - \cos α} $.
Өрнекті ықшамдаңыз: $ \frac{\sin α + \cos α}{\sin α - \cos α} $.
Давайте разберём, как можно упростить выражение
( sin α + cos α ) / ( sin α – cos α ).
Сначала поделим числитель и знаменатель на cos α (при условии, что cos α ≠ 0). Тогда получаем:
(sin α/cos α + 1) / (sin α/cos α – 1).
Поскольку sin α/cos α = tan α, получим:
(tan α + 1) / (tan α – 1).
Таким образом, полуготовый ответ:
( tan α + 1 ) / ( tan α – 1 ).
Можно заметить, что выражение (tan α + 1)/(tan α – 1) связано с тригонометрической формулой для тангенса суммы:
tan (α + π/4) = (tan α + tan(π/4)) / (1 – tan αtan(π/4)) = (tan α + 1) / (1 – tan α), поскольку tan (π/4) = 1.
Обратите внимание, что формула имеет вид (tan α + 1) / (1 – tan α), а у нас (tan α + 1) / (tan α – 1). Это можно записать как:
(tan α + 1)/(tan α – 1) = – (tan α + 1)/(1 – tan α) = – tan(α + π/4).
Таким образом, окончательные варианты ответа:
- (tan α + 1)/(tan α – 1), либо
- –tan(α + π/4).
Оба результата корректны, так как они равны друг другу.
Бізге берілген өрнек:
(\frac{\sin α + \cos α}{\sin α - \cos α})
болып табылады. Мұнда тригонометриялық функцияларды ықшамдау үшін идентичностерді қолдану керек.
Алдымен, өрнекті ықшамдау үшін сан мен бөлімге ортақ көбейткіш ретінде (\cos α) көбейтеміз (бұл жағдайда (\cos α \neq 0) деп есептейміз):
[
\frac{\sin α+\cos α}{\sin α-\cos α} = \frac{\frac{\sin α}{\cos α}+1}{\frac{\sin α}{\cos α}-1} = \frac{\tan α+1}{\tan α-1}
]
Осыдан кейін мына тангенс функциясының қосу ережесін еске түсіреміз. Белгілі факт:
[
\tan(45^\circ+α) = \frac{1+\tan α}{1-\tan α}.
]
Алайда біздің өрнек (\frac{\tan α+1}{\tan α-1}) болып тұр, яғни бөлімдегі таңба кері. Олай болса:
[
\frac{\tan α+1}{\tan α-1} = -\frac{\tan α+1}{1-\tan α} = -\tan(45^\circ+α).
]
Сондықтан өрнектің ықшамдалған түрі:
[
-\tan(45^\circ+α)
]
боладын.
Қорытындылай келе, берілген өрнек ықшамдалғанда оның нәтижесі ( -\tan(45^\circ+α) ) болады.