Өрнекті ықшамдаңыз: $\frac{\sin α + \cos α}{\sin α - \cos α}$

Математика
1

Өрнекті ықшамдаңыз: \frac{\sin α + \cos α}{\sin α - \cos α}

Өрнекті ықшамдаңыз: \frac{\sin α + \cos α}{\sin α - \cos α}

2

Мы хотим упростить выражение

( sin α + cos α ) ⁄ ( sin α – cos α ).

Первый шаг – разделить и числитель, и знаменатель на cos α (при условии, что cos α ≠ 0):

( sin α / cos α + 1 ) ⁄ ( sin α / cos α – 1 ) = (tan α + 1) ⁄ (tan α – 1).

Обратите внимание, что формула суммы углов для тангенса гласит:

tan(α + π/4) = (tan α + tan(π/4)) ⁄ (1 – tan α·tan(π/4)) = (tan α + 1) ⁄ (1 – tan α),

так как tan(π/4) = 1.

В нашем случае в знаменателе стоит (tan α – 1), а не (1 – tan α). Чтобы привести выражение к виду формулы, можно вынести минус из знаменателя:

(tan α + 1) ⁄ (tan α – 1) = – (tan α + 1) ⁄ (1 – tan α).

Таким образом, получаем:

– (tan α + 1) ⁄ (1 – tan α) = –tan(α + π/4).

Ответ: –tan(α + π/4).

3

Өрнекті ықшамдау тапсырмасы берілген: (sin α + cos α)/(sin α – cos α). Жолымыз мынадай:

Бірінші қадам. Егер екі жақты cos α-ге бөлсек, өрнек былай болады:
( (sin α/cos α) + 1 ) / ( (sin α/cos α) – 1 ) = (tan α + 1) / (tan α – 1).

Екінші қадам. Енді бізде (tan α+1)/(tan α–1) қалып отыр. Назар аудару керек, оқу формуласына сәйкес:
tan(45° + α) = (tan 45° + tan α) / (1 – tan 45°·tan α) = (1 + tan α)/(1 – tan α).
Бірақ біздің жұпта бөлімде tan α – 1 тұр, ал 1 – tan α – оның қарама-қарсысы, яғни:
tan α – 1 = -(1 – tan α).
Осыны есепке ала отырып, өрнекті былай қайта жазамыз:
(tan α + 1)/(tan α – 1) = -(tan α + 1)/(1 – tan α) = -tan(45° + α).

Қорытындылай келе, өрнектің ықшамдалған түрі:
-(tan(α + 45°)) немесе, бұрышты радианмен жазсақ, -tan(α + π/4).

Осы шешім арқылы берілген өрнектің ықшамдалған түрін анықтай аламыз. Егер сұрақтарыңыз болса, қуана жауап беремін.