Өрнекті ықшамдаңыз: \frac{\sin 4α}{\sin α} - \frac{\cos 4α}{\cos α}.
Өрнекті ықшамдаңыз: \frac{\sin 4α}{\sin α} - \frac{\cos 4α}{\cos α}.
Мы видим, что нужно упростить выражение
( sin4α / sinα ) – ( cos4α / cosα ).
Начнём с того, что приведём дроби к общему знаменателю. Для этого запишем их разность в виде одной дроби:
[sin4α · cosα – cos4α · sinα] / (sinα · cosα).
В числителе замечаем структуру, похожую на формулу разности:
sinA cosB – cosA sinB = sin(A – B).
Применив эту формулу с A = 4α и B = α, получим:
sin(4α – α) = sin 3α.
Таким образом, наше выражение становится:
sin 3α / (sinα · cosα).
Заметим, что произведение sinα · cosα можно записать через синус двойного угла, ведь sin2α = 2 sinα cosα, откуда sinα cosα = ½ sin2α. Тогда:
sin 3α / (½ sin2α) = 2 sin 3α / sin2α.
Таким образом, окончательный ответ может быть записан в двух эквивалентных вариантах:
- sin 3α / (sinα · cosα)
- 2 sin 3α / sin2α
Оба вида являются верными упрощениями исходного выражения.
Берілген өрнек:
\frac{\sin 4α}{\sin α} - \frac{\cos 4α}{\cos α}
Мұндай өрнекті ықшамдау үшін ең алдымен бөлшектерді ортақ бөлімге келтіреміз. Екі бөлшекті біріктіреміз:
\frac{\sin 4α}{\sin α} - \frac{\cos 4α}{\cos α} = \frac{\sin 4α \cos α - \cos 4α \sin α}{\sin α \cos α}
Назар аударатын жайт – бөлімдегі жоғары бөлікте кездесетін өрнек \sin 4α \cos α - \cos 4α \sin α. Бұл – синус айырмасы формуласымен жазылады:
\sin A\cos B - \cos A\sin B = \sin (A-B),
мұнда A=4α, B=α. Сонда:
\sin 4α \cos α - \cos 4α \sin α = \sin (4α - α) = \sin 3α.
Осыдан өрнек былай болады:
\frac{\sin 3α}{\sin α \cos α}.
Бұдан былай әрі қарай ықшамдау үшін \sin α\cos α-ні \frac{1}{2}\sin2α деп жазуға болады, себебі:
\sin2α = 2\sinα\cosα.
Осылайша, өрнекті былай қайта жазамыз:
\frac{\sin 3α}{\frac{1}{2}\sin2α} = \frac{2\sin3α}{\sin2α}.
Демек, ықшамдалған түрі екі балама түрде беріледі:
- \frac{\sin 3α}{\sin α\cos α},
- \frac{2\sin3α}{\sin2α}.
Екі түр де дұрыс жауап болып табылады.