Өрнекті ықшамдаңыз: $ \frac{\sin 4α}{\sin α \cos α} $.
Өрнекті ықшамдаңыз: $ \frac{\sin 4α}{\sin α \cos α} $.
В задаче нужно упростить выражение
( sin 4α ) ⁄ ( sin α · cos α ).
Запишем шаги решения.
Используем формулу для sin4α. Напомним, что функция синуса угла, кратного 2, имеет вид:
sin 4α = 2 sin 2α cos 2α.
Также знаем, что sin2α = 2 sin α cos α. Подставляем это в предыдущую формулу:
sin4α = 2 · (2 sin α cos α) · cos2α = 4 sin α cos α cos2α.
Теперь подставим это представление в исходное выражение:
( sin4α ) ⁄ ( sin α · cos α) = (4 sin α cos α cos2α) ⁄ ( sin α · cos α).
При условии, что sinα и cosα ≠ 0, сокращаем sinα·cosα:
= 4 cos2α.
Таким образом, упрощённый вид выражения – 4 cos2α.
Мысалыңызда берілген өрнек:
( \frac{\sin 4α}{\sin α \cos α} ).
Алдымен, (\sin 4α) функциясын келесі тригонометриялық формулада жазуға болады:
(\sin 4α = 2 \sin 2α \cos 2α).
Бұдан әрі, (\sin 2α) функциясын да (2 \sin α \cos α) деп жаза аламыз:
(\sin 2α = 2 \sin α \cos α).
Осыны қолдансақ:
(\sin 4α = 2 (2 \sin α \cos α) \cos 2α = 4 \sin α \cos α \cos 2α).
Осылайша бастапқы өрнек келесі түрге ие болады:
[
\frac{4 \sin α \cos α \cos 2α}{\sin α \cos α}.
]
Енді ортақ көбейтіндіні (қатардағы (\sin α \cos α)) алып тастаймыз (егер (\sin α \cos α \neq 0)):
[
\frac{4 \sin α \cos α \cos 2α}{\sin α \cos α} = 4 \cos 2α.
]
Сондықтан өрнектің ықшамдыланған түрі – (4 \cos 2α).
Бұл шешімге келесі қағидалар қолданылды:
• Дұрыс тригонометриялық қосу және көбейту формулалары;
• Қайталанатын көбейтіндіні қысқарту.
Нәтижесінде, берілген өрнектің ықшам түрі – (4 \cos 2α).