Өрнекті ықшамдаңыз: \frac{\sin α}{1 + \cos α} + \frac{1 - \cos α}{\sin α}
Өрнекті ықшамдаңыз: \frac{\sin α}{1 + \cos α} + \frac{1 - \cos α}{\sin α}
Давайте разберём по шагам, как упростить выражение
( sin α / (1 + cos α) ) + ( (1 – cos α) / sin α ).
Сначала приведём дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель двух дробей — это (1 + cos α)·sin α. Тогда запишем:
sin α/(1 + cos α) = (sin² α) / [(1 + cos α)·sin α],
(1 – cos α)/sin α = [(1 – cos α)(1 + cos α)] / [(1 + cos α)·sin α].
Умножив (1 – cos α) на (1 + cos α), получаем разность квадратов:
(1 – cos α)(1 + cos α) = 1 – cos² α.
Таким образом, выражение принимает вид:
[ sin² α + (1 – cos² α) ] / [(1 + cos α)·sin α].
Используя основное тригонометрическое тождество sin² α + cos² α = 1, можно заметить, что:
1 – cos² α = sin² α.
Подставляем:
[ sin² α + sin² α ] / [(1 + cos α)·sin α] = (2sin² α) / [(1 + cos α)·sin α].
Сократим числитель и знаменатель на sin α (при условии, что sin α ≠ 0):
(2sin² α) / [(1 + cos α)·sin α] = (2sin α) / (1 + cos α).
Это уже достаточно упрощённая форма. Можно упростить ещё хуже, используя половинные углы. Заметим, что
1 + cos α = 2cos²(α/2) и sin α = 2sin(α/2)cos(α/2).
Подставляем эти выражения:
(2·2sin(α/2)cos(α/2)) / (2cos²(α/2)) = (4sin(α/2)cos(α/2)) / (2cos²(α/2)).
Сокращаем на 2 и cos(α/2):
= (2sin(α/2)) / cos(α/2) = 2tan(α/2).
Таким образом, окончательный результат: выражение упрощается до 2tan(α/2).
Можно записать ответ как (2sin α)/(1+cos α) или, при использовании половинного угла, как 2tan(α/2).
Мысал бойынша өрнек:
\dfrac{\sin \alpha}{1+\cos \alpha} + \dfrac{1-\cos \alpha}{\sin \alpha}
Бұны ықшамдау жолын біртіндеп қарастырайық:
• Екі бөлшекті жалпы бөлгішке келтіреміз. Бірінші бөлшектің бөлімін ұқсас түрде алу үшін, екі бөлшектің бөлімдері – \sin \alpha және 1+\cos \alpha – көбейтіндісін қолданамыз. Яғни, ортақ бөлім: \sin \alpha(1+\cos \alpha).
• Бірінші бөлшекті ортақ бөлімге келтіре отырып, оның жоғарғы жағын көбейтеміз:
\dfrac{\sin \alpha}{1+\cos \alpha} = \dfrac{\sin \alpha \cdot \sin \alpha}{\sin \alpha(1+\cos \alpha)} = \dfrac{\sin^2 \alpha}{\sin \alpha(1+\cos \alpha)}
• Екінші бөлшекте де ортақ бөлімге келтіреміз:
\dfrac{1-\cos \alpha}{\sin \alpha} = \dfrac{(1-\cos \alpha)(1+\cos \alpha)}{\sin \alpha(1+\cos \alpha)}
Ескерте кетейік, (1-\cos \alpha)(1+\cos \alpha) – жеңілдетуді беретін айырма көбейтіндісі, себебі:
(1-\cos \alpha)(1+\cos \alpha)=1-\cos^2 \alpha.
Сонымен, екінші бөлшек: \dfrac{1-\cos^2 \alpha}{\sin \alpha (1+\cos \alpha)}.
• Енді екі бөлшекті қосамыз:
\dfrac{\sin^2 \alpha + (1-\cos^2 \alpha)}{\sin \alpha(1+\cos \alpha)}.
• Мұндағы негізгі тригонометриялық теңдік:
1-\cos^2 \alpha=\sin^2 \alpha.
Осыны ескеріп, жоғарғы бөлікті былай жазамыз:
\sin^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 2\sin^2 \alpha.
• Қорытындылай келе:
\dfrac{2\sin^2 \alpha}{\sin \alpha(1+\cos \alpha)}.
Содан кейін \sin \alpha бөліктерін қысқартамыз:
\dfrac{2\sin \alpha}{1+\cos \alpha}.
Мысалды ықшамдаудың тағы бір тәсілі – жарты бұрыш формуласын қолдану. Өйткені, белгілі:
\tan \dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{\sin \alpha}{1+\cos \alpha}.
Осыдан, қысқартылған өрнек:
2\tan \dfrac{\alpha}{2}.
Қорытындысында, берілген өрнектің ықшамданған түрі:
\dfrac{2\sin \alpha}{1+\cos \alpha} немесе, баламалы түрде,
2\tan \dfrac{\alpha}{2}.