Өрнекті ықшамдаңыз: \frac{\sin α}{1 + \cos α} + \frac{1 + \cos α}{\sin α}
Өрнекті ықшамдаңыз: \frac{\sin α}{1 + \cos α} + \frac{1 + \cos α}{\sin α}
Мы должны упростить выражение
( sinα/(1 + cosα) ) + ( (1 + cosα)/sinα ).
Сначала приведем к общему знаменателю, которым в данном случае будет произведение sinα · (1 + cosα):
= [sin²α + (1 + cosα)²] / [sinα(1 + cosα)].
Раскроем квадрат в числителе:
(1 + cosα)² = 1 + 2cosα + cos²α.
Подставим:
= [sin²α + 1 + 2cosα + cos²α] / [sinα(1 + cosα)].
Заметим, что sin²α + cos²α = 1. Тогда числитель становится:
= [1 + 2cosα + 1] = 2(1 + cosα).
Таким образом, выражение примет вид:
= [2(1 + cosα)] / [sinα(1 + cosα)].
Мы видим, что (1 + cosα) можно сократить (при условии, что 1 + cosα ≠ 0):
= 2/sinα.
Ответ: 2/sinα.
Бізге төмендегі өрнекті ықшамдау тапсырылған:
\frac{\sin α}{1 + \cos α} + \frac{1 + \cos α}{\sin α}
Алдымен екі бөлшектің ортақ бөлімін табу арқылы өрнекті біріктіреміз. Ортақ бөлім – \sin α (1 + \cos α).
• Бірінші бөлшекті ортақ бөлімге келтірейік:
\frac{\sin α}{1 + \cos α} = \frac{\sin α \cdot \sin α}{\sin α (1 + \cos α)} = \frac{\sin^2 α}{\sin α (1 + \cos α)}
• Екінші бөлшекті де ортақ бөлімге келтірейік:
\frac{1 + \cos α}{\sin α} = \frac{(1 + \cos α)^2}{\sin α (1 + \cos α)}
Енді екі бөлшекті қосамыз:
\frac{\sin^2 α + (1 + \cos α)^2}{\sin α (1 + \cos α)}.
Атақтаушыда санды жеңілдету үшін жоғарыдағы кез келген өрнекті талдап шығамыз.
Жоғарғы бөлшектің алымына назар аударсақ,
- \sin^2α + (1+\cosα)^2
– Алдымен (1+\cosα)^2 ашайық:
(1+\cosα)^2 = 1 + 2\cosα + \cos^2α.
– Осыдан кейін жалпы алымды жазамыз:
\sin^2α + 1 + 2\cosα + \cos^2α.
– Мұндағы \sin^2α + \cos^2α = 1 екенін пайдалансақ,
1 + 1 + 2\cosα = 2 + 2\cosα = 2(1+\cosα).
Сондықтан өрнек былай көрінеді:
\frac{2(1+\cosα)}{\sinα (1+\cosα)}.
Мұндағы (1+\cosα) сандық коэффициентті қысқартамыз (тек 1+\cosα \neq 0 болған жағдайда):
\frac{2}{\sinα}.
Қорыта айтсақ, ықшамдалған жауап:
\frac{2}{\sinα}.
Осылайша, берілген өрнектің ықшамдалған түрі \frac{2}{\sin α} болады.