Өрнекті ықшамдаңыз: $\frac{\sinα}{1 + \cosα} + \frac{1 - \cosα}{\sinα}$

Математика
1

Өрнекті ықшамдаңыз: \frac{\sinα}{1 + \cosα} + \frac{1 - \cosα}{\sinα}

Өрнекті ықшамдаңыз: \frac{\sinα}{1 + \cosα} + \frac{1 - \cosα}{\sinα}

2

Выразим данное выражение пошагово.

У нас есть сумма двух дробей:
(1) sinα/(1 + cosα) + (2) (1 − cosα)/sinα.

Возьмём первую дробь. Умножим её числитель и знаменатель на (1 − cosα):

sinα/(1 + cosα) = [sinα(1 − cosα)]/[(1 + cosα)(1 − cosα)].

Заметим, что в знаменателе мы получили разность квадратов:
(1 + cosα)(1 − cosα) = 1 − cos²α.

А по тождеству:
1 − cos²α = sin²α.

Тогда получаем:
sinα/(1 + cosα) = [sinα(1 − cosα)]/sin²α = (1 − cosα)/sinα.

Таким образом, наша исходная сумма превращается в:
(1 − cosα)/sinα + (1 − cosα)/sinα = 2(1 − cosα)/sinα.

Также стоит отметить, что существует известное тождество для половинного угла:
tan(α/2) = (1 − cosα)/sinα.

Отсюда окончательный результат можно записать двумя эквивалентными способами:
2(1 − cosα)/sinα или 2tan(α/2).

Таким образом, упрощённое выражение равно 2tan(α/2).

3

Берілген өрнек:
[
\frac{\sinα}{1+\cosα}+\frac{1-\cosα}{\sinα}
]

Бірінші терминды ықшамдау үшін, (\frac{\sinα}{1+\cosα})-ға көбейту амалын қолданамыз. Нақтырақ айтсақ, алдымен осы бөлшекті былай жазайық:

  1. (\frac{\sinα}{1+\cosα}) бөлшегіне (\frac{1-\cosα}{1-\cosα}) көбейтеміз (бұл көбейткіш бірлікке тең, яғни өрнектің мәнін өзгеріссіз қалдырады):

[
\frac{\sinα}{1+\cosα}=\frac{\sinα(1-\cosα)}{(1+\cosα)(1-\cosα)}
]

  1. Ескеріңіз, ( (1+\cosα)(1-\cosα)=1-\cos^2α ). Ал (1-\cos^2α=\sin^2α) тригонометриялық теңдеуінен белгілі. Сонымен:

[
\frac{\sinα(1-\cosα)}{(1+\cosα)(1-\cosα)}
=\frac{\sinα(1-\cosα)}{\sin^2α}
=\frac{1-\cosα}{\sinα}.
]

  1. Енді өрнекті былай жазамыз:

[
\frac{1-\cosα}{\sinα}+\frac{1-\cosα}{\sinα}=\frac{2(1-\cosα)}{\sinα}.
]

Бұдан әрі ықшамдау үшін, жарты бұрыш формулаларын қолдануға болады. Атап айтқанда:

  • (1-\cosα=2\sin^2\frac{α}{2}),
  • (\sinα=2\sin\frac{α}{2}\cos\frac{α}{2}).

Осылайша:

[
\frac{2(1-\cosα)}{\sinα}=\frac{2\cdot 2\sin^2\frac{α}{2}}{2\sin\frac{α}{2}\cos\frac{α}{2}}
=\frac{4\sin^2\frac{α}{2}}{2\sin\frac{α}{2}\cos\frac{α}{2}}
=\frac{2\sin\frac{α}{2}}{\cos\frac{α}{2}}
=2\tan\frac{α}{2}.
]

Қорытындылай келе, өрнектің ықшамдалған түрі:
[
2\tan\frac{α}{2}.
]