Өрнекті ықшамдаңыз: \frac{\cos 4α}{\cos 2α} - \frac{\sin 4α}{\sin 2α}.
Өрнекті ықшамдаңыз: \frac{\cos 4α}{\cos 2α} - \frac{\sin 4α}{\sin 2α}.
Мы должны упростить выражение
(1) ( cos 4α / cos 2α ) – ( sin 4α / sin 2α ).
Сначала запишем разложение для косинуса и синуса угла 4α через удвоенный угол 2α. Напомним формулы:
cos 4α = 2 cos²2α – 1,
sin 4α = 2 sin2α cos2α.
Подставляем их в (1):
(2) (2 cos²2α – 1)/cos2α – (2 sin2α cos2α)/sin2α.
Преобразуем дроби по отдельности. В первом слагаемом дробь можно записать как:
(2 cos²2α – 1)/cos2α = 2 cos2α – 1/cos2α,
а во втором слагаемом дробь сократится (при условии, что sin2α ≠ 0):
(2 sin2α cos2α)/sin2α = 2 cos2α.
Таким образом, (2) принимает вид:
2 cos2α – (1/cos2α) – 2 cos2α.
Заметим, что 2 cos2α – 2 cos2α сокращаются, и остаётся:
– 1/cos2α = – sec 2α.
Ответ такой, что исходное выражение равно – sec2α при выполненных условиях: cos2α ≠ 0 и sin2α ≠ 0 (то есть выражение имеет смысл там, где знаменатели не равны нулю).
Мәселе: Өрнекті ықшамдау сұралады:
[
\frac{\cos 4α}{\cos 2α} - \frac{\sin 4α}{\sin 2α}
]
Алдымен өрнекті ықшамдау жолын қарастырайық:
• (\cos 4α) өрнегін былай жаза аламыз:
[
\cos 4α = 2\cos^2 2α - 1,
]
өйткені косинустың қосарланған бұрышының ережесі бойынша (\cos 2θ = 2\cos^2 θ - 1) формуласын қолданып, (θ=2α) деп алмадық.
• (\sin 4α) өрнегін былай жаза аламыз:
[
\sin 4α = 2\sin 2α \cos 2α,
]
өйткені синустың қосарланған бұрышының ережесі бойынша (\sin 2θ = 2\sin θ \cos θ) формуласын (θ=2α) үшін қолданамыз.
Енді берілген өрнекті осы жазбалармен алмастырамыз:
[
\frac{2\cos^2 2α - 1}{\cos 2α} - \frac{2\sin 2α \cos 2α}{\sin 2α}.
]
• Екінші бөлшекте (\sin 2α) жай ғана қысқалады:
[
\frac{2\sin 2α \cos 2α}{\sin 2α} = 2\cos 2α.
]
Сонда өрнек былай болады:
[
\frac{2\cos^2 2α - 1}{\cos 2α} - 2\cos 2α.
]
• Екі мүшені ортақ бөлгіш (\cos 2α)-ке келтіреміз:
[
\frac{2\cos^2 2α - 1 - 2\cos^2 2α}{\cos 2α} = \frac{-1}{\cos 2α}.
]
Нәтижесінде ықшам өрнек:
[
-\frac{1}{\cos 2α}.
]
Яғни, дұрыс жауап:
[
-\frac{1}{\cos 2α} \quad \text{немесе} \quad -\sec 2α.
]
Бұл есепте негізгі қолданылған қағидалар:
• Косинустың қосарланған бұрышының формуласы: (\cos 4α = 2\cos^2 2α - 1).
• Синустың қосарланған бұрышының формуласы: (\sin 4α = 2\sin 2α \cos 2α).
• Алдымен бөлшектерді жай ұғымдарға айналдырып, кейін ықшамдау арқылы нәтиже алынды.
Қорытынды:
Дұрыс жауап: (-\frac{1}{\cos 2α}).