Өрнекті ықшамдаңыз: $ \frac{2}{x^2 - 9} - \frac{1}{x + 3} $
Өрнекті ықшамдаңыз: $ \frac{2}{x^2 - 9} - \frac{1}{x + 3} $
Мәселе – келесі өрнекті ықшамдау:
2/(x² - 9) - 1/(x + 3).
Біріншіден, назар аудару керек, x² - 9 – жай айырмасы болып табылады, яғни ол былай жазылады:
x² - 9 = (x - 3)(x + 3).
Осылайша, өрнекті былай қайта жазуға болады:
2/[(x - 3)(x + 3)] - 1/(x + 3).
Енді екі бөлшекті ортақ бөлгішке келтіру қажет. Ортақ бөлгіш ретінде (x - 3)(x + 3) таңдауға болады. Екінші бөлшекті ортақ бөлгішпен жазу үшін оның үстіне (x - 3)/(x - 3) көбейтеміз:
1/(x + 3) = (x - 3)/[(x + 3)(x - 3)].
Осылайша, өрнек келесі түрде болады:
[2 - (x - 3)]/[(x - 3)(x + 3)].
Енді санды әрі айнымалыны жеңілдетейік:
2 - (x - 3) = 2 - x + 3 = 5 - x.
Сонда өрнектің ықшамдалған түрі:
(5 - x)/[(x - 3)(x + 3)].
Қысқаша түсініктеме:
• x² - 9 = (x - 3)(x + 3) деп факторлау;
• Екінші бөлшекті ортақ бөлгішке келтіру үшін (x - 3)-ке көбейту;
• Бөлшектерді қосып, ықшамдау.
Дұрыс жауап: (5 - x)/[(x - 3)(x + 3)].
Для начала запишем данное выражение и приведем его к общему знаменателю. Исходное выражение выглядит так:
2/(x² - 9) – 1/(x + 3).
Заметим, что x² – 9 можно разложить как разность квадратов:
x² – 9 = (x – 3)(x + 3).
Таким образом, первое слагаемое принимает вид:
2/[(x – 3)(x + 3)].
Чтобы вычесть вторую дробь, нужно привести её к такому же знаменателю. Для этого домножим числитель и знаменатель второй дроби на (x – 3):
1/(x + 3) = (x – 3)/[(x + 3)(x – 3)].
Теперь имеем:
2/[(x – 3)(x + 3)] – (x – 3)/[(x – 3)(x + 3)].
Так как знаменатели одинаковые, можно объединить дроби:
[2 – (x – 3)]/[(x – 3)(x + 3)].
Упростим числитель:
2 – (x – 3) = 2 – x + 3 = (5 – x).
Таким образом, получаем окончательный результат:
(5 – x) / [(x – 3)(x + 3)].
Ответ: (5 – x) / [(x – 3)(x + 3)].