Өрнекті ықшамдаңыз: \frac{1}{\cos α} - \sin α \tan α
Өрнекті ықшамдаңыз: \frac{1}{\cos α} - \sin α \tan α
Берілген өрнек:
[
\frac{1}{\cos α} - \sin α \tan α.
]
Алдымен, біз (\tan α) функциясын (\frac{\sin α}{\cos α}) түрінде жазамыз, сонда өрнек былай болады:
[
\frac{1}{\cos α} - \sin α \cdot \frac{\sin α}{\cos α}.
]
Осыдан:
[
\frac{1}{\cos α} - \frac{\sin^2 α}{\cos α}.
]
Ортақ бөлгіш (\cos α) болғандықтан, бөлшектерді біріктіріп:
[
\frac{1 - \sin^2 α}{\cos α}.
]
Енді (1 - \sin^2 α) шеңберлік теорема негізінде (\cos^2 α) деп жазылғанын білеміз, демек:
[
\frac{\cos^2 α}{\cos α}.
]
Соңында, (\cos α) бөлгішпен қысқарту нәтижесінде:
[
\cos α.
]
Осылайша, өрнектің ықшамдалған түрі (\cos α) болады.
Мы видим следующее выражение:
1/𝑐𝑜𝑠 α – sin α · tan α
Первое, что можно сделать – заменить тангенс через синус и косинус. Напомним, что
tan α = sin α / cos α.
Подставляем это равенство:
1/cos α – sin α * (sin α/cos α) = 1/cos α – sin²α/cos α.
Оба слагаемых имеют общий знаменатель cos α, поэтому объединяем их:
(1 – sin²α) / cos α.
Теперь воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:
sin²α + cos²α = 1,
откуда следует, что
1 – sin²α = cos²α.
Подставляем это в выражение:
cos²α / cos α.
Сокращаем cos α (при условии, что cos α ≠ 0), получаем:
cos α.
Ответ: cos α.