Өрнекті ықшамдаңыз: \cos α + \cot α + \sin α
Өрнекті ықшамдаңыз: \cos α + \cot α + \sin α
Рассмотрим задачу: упростить выражение
cos α + cot α + sin α.
Начнём с того, что запишем котангенс через синус и косинус. Напомним, что
cot α = cos α/sin α.
Подставим это в исходное выражение:
cos α + cos α/sin α + sin α.
Чтобы объединить эти слагаемые в один рациональный вид, приведём все члены к общему знаменателю sin α. Для этого запишем cos α и sin α в виде дробей с знаменателем sin α:
cos α = (cos α · sin α)/sin α и sin α = (sin² α)/sin α.
Таким образом, получаем:
(cos α · sin α)/sin α + cos α/sin α + sin² α/sin α
= [cos α · sin α + cos α + sin² α] / sin α.
В итоге выражение принимает вид:
[cos α sin α + cos α + sin² α] / sin α.
Дальнейшее сокращение данного выражения не приводит к более простому результату, поэтому окончательным ответом можно оставить именно эту форму.
Краткий итог:
Исходное выражение равносильно
[cos α sin α + cos α + sin² α] / sin α.
Берілген өрнек:
(\cos \alpha + \cot \alpha + \sin \alpha).
Алдымен өрнектегі (\cot \alpha) тригонометриялық қатынас екенін ескерейік. Ол былай анықталады:
(\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}).
Енді өрнекті қайта жазайық:
(\cos \alpha + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} + \sin \alpha).
Қарапайым рационал түрге келтіру үшін ортақ бөлгішті – (\sin \alpha) – қолданамыз. Барлық мүшелерді ( \sin \alpha ) бөлгішіне келтірсек:
[
\cos \alpha = \frac{\cos \alpha \sin \alpha}{\sin \alpha}, \quad \sin \alpha = \frac{\sin^2 \alpha}{\sin \alpha}.
]
Сонда өрнек келесі түрге ауысады:
[
\frac{\cos \alpha \sin \alpha}{\sin \alpha} + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} + \frac{\sin^2 \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\cos \alpha \sin \alpha + \cos \alpha + \sin^2 \alpha}{\sin \alpha}.
]
Өрнектің ықшамдалған түрі:
[
\frac{\sin^2 \alpha + \cos \alpha \sin \alpha + \cos \alpha}{\sin \alpha}.
]
Бұл нәтиже өрнектің ықшамдалған түрі болып табылады. Нақтылап айтсақ, біз бөлгішке ортақ мән (\sin \alpha) алып, барлық мүшелерді бір бөлшекте біріктіруден кейін сәйкес ықшамдалған форманы алдық.
Демек, дұрыс жауап:
(\frac{\sin^2 \alpha + \cos \alpha \sin \alpha + \cos \alpha}{\sin \alpha}).