Өрнекті ықшамдаңыз: \cos\alpha + \sin\alpha \cdot \cos\alpha, мұндағы \tan\alpha = 2
Өрнекті ықшамдаңыз: \cos\alpha + \sin\alpha \cdot \cos\alpha, мұндағы \tan\alpha = 2
Мәселе былай қойылған: берілген өрнекті ықшамдау керек, яғни
[
\cos\alpha + \sin\alpha\cdot\cos\alpha
]
мұндағы (\tan\alpha = 2).
Алдымен өрнекті бір қадамға жинаймыз:
[
\cos\alpha + \sin\alpha \cdot \cos\alpha = \cos\alpha(1+\sin\alpha).
]
Бұдан әрі берілген байланыс (\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = 2) арқылы (\sin\alpha = 2\cos\alpha) екенін анықтаймыз. Осыны ықшамдауда қолданамыз:
[
\cos\alpha(1+\sin\alpha) = \cos\alpha\Bigl(1+2\cos\alpha\Bigr) = \cos\alpha + 2\cos^2\alpha.
]
Осыдан өрнек ( \cos\alpha + 2\cos^2\alpha ) түрінде алынған.
Енді (\cos\alpha) табу үшін тригонометриялық тепе-теңдікті қолданамыз:
[
\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1.
]
Сонда (\sin\alpha=2\cos\alpha) болған жағдайда:
[
(2\cos\alpha)^2+\cos^2\alpha=4\cos^2\alpha+\cos^2\alpha=5\cos^2\alpha=1,
]
яғни:
[
\cos^2\alpha=\frac{1}{5}.
]
Әдетте (\alpha) бұрышының бірінші квадрантта екендігі (яғни (\cos\alpha>0)) есепке алынса, (\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{5}}).
Осы нәтижені өрнекке қайта қойғанда:
[
\cos\alpha + 2\cos^2\alpha = \frac{1}{\sqrt{5}} + 2\cdot\frac{1}{5} = \frac{1}{\sqrt{5}} + \frac{2}{5}.
]
Қарапайым бөлшек түріне келтіретін болсақ, (\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}), сонда:
[
\frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{2}{5} = \frac{\sqrt{5}+2}{5}.
]
Қорытындылай келе, өрнектің ықшамдалған түрі:
[
\boxed{\frac{\sqrt{5}+2}{5}}
]
дей-ақ жазуға болады.
Задача ставит перед нами упрощение выражения
cosα + sinα·cosα
при условии, что tanα = 2.
Сначала заметим, что cosα можно вынести за скобки:
cosα + sinα·cosα = cosα (1 + sinα).
Условие tanα = 2 означает, что отношение sinα к cosα равно 2:
tanα = sinα / cosα = 2 ⇒ sinα = 2 cosα.
Подставим это равенство в полученное выражение:
cosα (1 + sinα) = cosα (1 + 2 cosα).
Таким образом, окончательный вид результата:
cosα (1 + 2 cosα).
Можно, если нужно, найти численное значение через cosα. Напомним, что из тригонометрической тождества sin²α + cos²α = 1 и соотношения sinα = 2 cosα получаем:
(2 cosα)² + cos²α = 1 ⇒ 4 cos²α + cos²α = 1 ⇒ 5 cos²α = 1,
откуда cos²α = 1/5 и при условии, что α – острый угол (cosα > 0), получаем cosα = 1/√5.
Подставляя это значение обратно:
cosα (1 + 2 cosα) = (1/√5)(1 + 2/√5).
Таким образом, упрощённый вид выражения выглядит в двух вариантах:
- В общем виде: cosα (1 + 2 cosα).
- При условии, что α – острый угол (cosα = 1/√5): (1/√5)(1 + 2/√5).
Надеюсь, объяснение понятно. Если есть вопросы – спрашивай!