Өрнекті ықшамдаңыз: \cos 36° + \sin 18°
Өрнекті ықшамдаңыз: \cos 36° + \sin 18°
Мы знаем точные значения для углов 36° и 18°:
• cos 36° = (1 + √5)⁄4
• sin 18° = (√5 – 1)⁄4
Подставим их в выражение:
cos 36° + sin 18° = (1 + √5)/4 + (√5 – 1)/4
Так как у двух слагаемых одинаковый знаменатель, складываем числители:
= [ (1 + √5) + (√5 – 1) ]⁄4
= (1 – 1 + √5 + √5)⁄4
= (2√5)/4
= √5/2
Ответ: √5/2.
Келтірілген өрнек – ( \cos 36^\circ + \sin 18^\circ ) – ықшамдалуы керек. Бұл есепте тригонометрияның белгілі бұрыш мәндері қолданылып, нақты сандық мәндері қамтамасыз етіледі.
-
Мысалы, геометрия мен алтын шынжырлы тікбұрыштық үшбұрыш арқылы келесі дәлелденген:
• ( \cos 36^\circ = \frac{1+\sqrt{5}}{4} )
• ( \sin 18^\circ = \frac{\sqrt{5}-1}{4} ) -
Енді осы мәндерді қоссақ,
[
\cos 36^\circ + \sin 18^\circ = \frac{1+\sqrt{5}}{4} + \frac{\sqrt{5}-1}{4} = \frac{(1+\sqrt{5}+\sqrt{5}-1)}{4} = \frac{2\sqrt{5}}{4} = \frac{\sqrt{5}}{2}.
] -
Бұдан көрініп тұрғандай, өрнекті ықшамдау нәтижесінде ( \frac{\sqrt{5}}{2} ) шығады.
Демек, берілген тапсырма бойынша дұрыс ықшамдалған өрнек: ( \frac{\sqrt{5}}{2} ). Егер сұрақтарыңыз болса, қуана жауап беремін!
Мәселе: cos 36° + sin 18° өрнегін ықшамдау.
Бұл мәселе алдында берілген бұрыш мәндерінің тригонометриялық мәндері белгілі екенін ескереді. Білеміз:
• cos 36° = (√5 + 1)⁄4
• sin 18° = (√5 − 1)⁄4
Осы мәндерді қосқанда:
cos 36° + sin 18° = (√5 + 1)⁄4 + (√5 − 1)⁄4 = [ (√5 + 1) + (√5 − 1) ]⁄4
= (2√5)⁄4 = √5⁄2
Сонда өрнектің ықшамдалған түрі: √5⁄2.